高数【】精要.ppt

一、 证 推论1 例1 求 例2 求 二、 例5 求 说明 3) 若 例7 求 使用洛必达法则需要注意的问题: 思考与练习 3. 内容小结 * 三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 §3.2 洛必达法则 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 定义 例如 如果当 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限 可能存在，也可能不存在。通常把这种极限 叫做未定式，并分别简记为 存在 ( 或为 ); 定理3.4 型未定式 (洛必达法则) 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求 极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. ( ? 在 x , a 之间). 无妨假设 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满 故 定理条件 足柯西定理条件, 存在 ( 或为 ); 定理3.4中 换为 之一, 推论 2 若 仍满足定理3.4条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 3.4 仍然成立. 洛必达法则 解 原式 注意 不是未定式不能用洛必达法则 ! 解 原式 型未定式 存在 (或为∞); 定理 3.5 (洛必达法则) 说明 定理中 可换为 例3 解 例4 解 解 原式 例6 求 解 (1) n 为正整数的情形. 原式 (2) n 为任何正实数时，该结论仍成立. 例5. 例6. 1) 例5 , 例6 表明 时, 后者比前者趋于 更快 . 例如 而 用洛必达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如 极限不存在 解 注意到 ～ 原式 注意: 洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 三、其他未定式 解决方法 通分 转化 取倒数 转化 利用对数恒等式 转化 关键 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 例8 解 步骤: 例9 求 解 原式 例10 解 步骤 解 原式 例11 求 通分 转化 取倒数 转化 对数恒等式 转化 步骤: 然后利用未定式 例12 解 通分 转化 取倒数 转化 对数恒等式 转化 例13 解 通分 转化 取倒数 转化 对数恒等式 转化 例14 解 通分 转化 取倒数 转化 对数恒等式 转化 例15 求 解 根据数列极限和函数极限的关系，取 当 取正整数 思考: 如何求 ( n 为正整数) ? 例16 讨论 在点 处的连续性. 解 例16 讨论 在点 处的连续性. 所以函数 在点 处连续. 而 1) 只有未定式的极限问题才能使用，非未定式极限要用四则运算或其他方法； 3) 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但尽可能 2) 未定式极限问题共有七种形式 其中 是基本的两种，其他任何一种未定式 必须化为 然后才能运用洛必达法求极限； 先运用等价无穷小替换使函数化简后， 再使用洛必 达法求极限. 4) 某些未定式运用洛必达法则不能解决计算问题 . 例如 而 用洛必达法则 1. 设 是未定式极限 , 如果 不存在 , 是否 的极限也不存在 ? 举例说明 . 极限 原式 ～ 分析: 分析: 原式 ～ ～