高数【】-精要.ppt

* §2.3 高阶导数 问题 变速直线运动的加速度. 定义 . 记作 三阶导数的导数称为四阶导数, 记作 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 二阶导数的导数称为三阶导数,记作 例1 解 所以 例2 解 问题： 一个5次多项式的6阶导数是什么？ 例3 解 例4 解 同理可得 问题： 的n阶导数？ 答案 例5 解 例6 已知 求 解得 例7 设 求 解 §2.4 微分 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的基本公式与运算 一、微分的概念 实例 半径为 的金属圆板受热后面积的改变量. 再例如 既容易计算又是较好的近似值 问题 这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 的微分, 定义: 设函数 在点 的增量可表示为 ( 为不依赖于 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 在点 可微, 在 的某个邻域内有定义, 如果存在常数 使得 如果函数 在某区间内处处可微,则它的 微分记为 定理 证 (1) 必要性 所以 即 则 (2) 充分性 即 例1 解 M N T ） 几何意义 (如图) P 二、微分的几何意义 三、微分的基本公式与运算 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本公式 2. 运算法则 3.微分形式的不变性 结论 例2 解 例3 解 例4 解 例5 设隐函数 是由方程 确定,求 解 等式两边同时取微分,有 整理得 例6 设函数 解 等式两边同时取微分,有 分别求 对 的导数 和 对 的导数 . 对 的导数为 所以 对 的导数 为 §2.5 导数在经济学中的应用 一、边际的概念 二、弹性 三、需求弹性 四、供给弹性 一、边际的概念 在经济学中,边际概念通常指经济变量的变化率．利用导数研究经济变量的边际变化的方法称为边际分析法,边际分析法是经济分析的一个重要方法． 1.边际成本 设某企业生产某产品的总成本函数为 其中， 是单位时间内的产量， 是由产量 动成本与固定成本之和，如果产量由 增加到 时，总成本的增加量为 此时，总成本的平均增长量为 得到的变 ， ， . 如果极限 存在，则称此极限为产量为 的边际成本，即 称之为边际成本函数. 一般情况下，产量 的最小变化单位只能为1，即 ，根据边际成本的定义和极限的性质，可得 此处， 是当 时的无穷小量，当 很小时， 由于变量的最小变化单位为1，则 ， . . 2.边际收入 设某产品的总收入函数为 其中 是单位时间 是由销量 得到的总收入，当销量 有增量 时，其总收入的平均增长量为 如果 存在，则称此极限为销量 的边际收入，即 称之为边际收入函数. 的变化率．因此 内的销量， 边际收入的经济意义 每增加一单位销量在总收入中增加的数量.即边际收入为总收入对销量 . . 3.边际利润 设L(x)是利润函数，则由总成本、总收入和总利润之间的关系，显然可得 两边求导得 称之为边际利润函数. . ， *