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中值定理与导数的应用 函数单调性的判别法 单调区间求法 小结 思考题 作业 第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性 曲线凹凸性的判别法 曲线的拐点及其求法 第三章 微分中值定理与导数的应用 定理1 单调增加; 单调减少. 一、单调性的判别法 函数的单调性与曲线的凹凸性 , 0 ) ( ) , ( ) 1 ( ￠ x f b a 内 如果在 证 拉氏定理 (1) (2) 此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确. 注 函数的单调性与曲线的凹凸性 例 解 函数的单调性与曲线的凹凸性 定义域为 方法 问题 如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 然后判定区间内导数 的符号. 的分界点． 函数的单调性与曲线的凹凸性 二、单调区间求法 但在各个部分区间上单调． 则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点, 可能是单调区间 函数的单调性与曲线的凹凸性 例 解 定义域 单调区间为 例 解 单调区间为 函数的单调性与曲线的凹凸性 定义域 区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零, 如, 注 不影响区间的单调性. 函数的单调性与曲线的凹凸性 单调增加. 又如, 内可导,且 等号只在 (无穷多个离散点)处成立, 故 内单调增加. 例 证 函数的单调性与曲线的凹凸性 例 证 定不出符号 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的单调性与曲线的凹凸性 证 若令 则只须证明 单调增加. 而 拉氏定理 单调增加. 从而 函数的单调性与曲线的凹凸性 (concave and convex) 三、曲线凹凸性的判别法 函数的单调性与曲线的凹凸性 1.定义 如何研究曲线的弯曲方向 定义1 恒有 凹 (凸) 函数的单调性与曲线的凹凸性 图形上任意弧段 位于所张弦的下方 图形上任意弧段 位于所张弦的上方 曲线弧上每一点的切线 定义2 (上) 方, 称为凹 弧. (凸) 凹弧的曲线段 的切线斜率是单增的, 是单增的, 凸弧的切线斜率是单减的, 是单减的. 而 利用二阶导数判断曲线的凹凸性 从几何直观上, 随着x的增大, 都在曲线的下 函数的单调性与曲线的凹凸性 定理2 二阶导数, 凹 (凸) 函数的单调性与曲线的凹凸性 2. 凹凸性的判别法 证 即 这说明切线位于曲线的下方, 泰勒公式 即f(x)是凹的. 函数的单调性与曲线的凹凸性 即 例 证 设 函数的单调性与曲线的凹凸性 图形是凹的. 利用函数图形的凹凸性证明不等式: 例 解 注 凸 变 凹 的分界点. 函数的单调性与曲线的凹凸性 1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点. 几何上 函数的单调性与曲线的凹凸性 四、曲线的拐点及其求法 (inflection point) 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 拐点的第一充分条件 2. 拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处. 拐点的必要条件 具有二阶导数, 则点 (1) (2) 函数的单调性与曲线的凹凸性 是拐点的必要条件为 (或x0为二阶导数不存在的点) 例 解 拐点 拐点 不存在 定义域为 (1) (2) (3) 列表 函数的单调性与曲线的凹凸性 例 解 拐点的第二充分条件 函数的单调性与曲线的凹凸性 例 解 函数的单调性与曲线的凹凸性 证 法一 用单调性证. 法二 用凹凸性证. 例 设 则 即 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的单调性与曲线的凹凸性 五、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 单调性的应用: 改变弯曲方向的点: 凹凸性; 拐点; 利用函数的单调性可以确定某些方程实根 的个数和证明不等式. 研究曲线的弯曲方向: 凹凸性的应用: 利用凹凸性证明不等式. 证 只要证 令 则 所以 即 有 得 函数的单调性与曲线的凹凸性 思考题1 函数的单调性与曲线的凹凸性 思考题2 2002年考研数学二, 8分 证明不等式 证 先证右边不等式. 设 单调减少, 故有 即 再证左边不等式. (两种方法) 设函数 作业 习题3-4(151页) 2. 3.(2) (4) (6) 4.(3) (5) 5. 6. 函数的单调性与曲线的凹凸性 7. 8.(2) (3) 9.(3) 10. 12. * *