期权定价分析.ppt

在有股利时，看涨期权和看跌期权之间的平价关系也会受到影响。 考虑如下两个组合： ⑴ 买入 1 份执行价格为 K 的看涨期权和现值 为 的无风险证券， ⑵ 买入 1 份执行价格为 K 的看跌期权和 1 份股票。 比较它们在 l 期的支付： 组合1 组合2 显然，组合 1 和组合 2 在 l 期的支付完全相同。因此，它们在今天的成本一定相等，即如果有股利，欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系变为 5.4 完全市场中的期权定价 如果证券市场是完全的，那么存在唯一的状态价格向量： 。 记 为标的资产在状态 时的支付。那么 这里，Q 是风险中性测度。 记 S 为股票现在的价格。二叉树过程假设下期股价有两个可能：有 p 的概率上升到 ，有 1-p 的概率下降到 。 不失一般性，我们假设 。我们可以用下面的二叉树来表示这样的股价过程： S uS, 概率为p dS, 概率为1－p 例子：股票价格的二叉树过程 假设证券市场中存在无风险证券，利率是 。令它在 1 期的支付为1，并记它的价格为 B 。那么我们有 无风险证券的价格也可用二叉树过程表示： B 1, 概率为p 1, 概率为1－p 首先，要求股票和无风险证券的价格过程不存在套利机会。这也就要求 设 ，考虑下面的套利组合：买入一份股票，支付为 S ，同时卖出 份无风险证券，收入恰好为 S ，因此在 0 期的净支付为 0 。 用反证法来证明这个条件。 该组合在股票价格上升时，在 1 期得到的支付是 在股票价格下降时得到的支付是 这显然是一个套利机会。因此由无套利，我们必须有 ，同理可证 。 接下来，因 1 期只有两个可能状态，由资产定价基本定理，存在状态价格向量 ， 其中 和 分别为对应于“上”和“下”，或 u 和 d 的状态价格，使得 这里，因为只有两个状态，两只支付是线性独立的证券——股票和债券——从而使得市场是完全的，并且它们的价格唯一地确定了状态价格。 给定状态价格，得到期权价格为： （5.5） 由此立即得到 在到期日期权的支付为 ，它取决于最终的股价。 到期日期权的价值（即它的支付）为 现在考虑一个由股票和债券组成的组合： 份股票和 份债券。 欧式看涨期权定价 它在两个可能状态下的支付将是 选择 使得 且 。有如下解： 这个组合与所考虑的期权具有完全相同的支付。而这个复制组合在 期的价值为 无套利原理要求期权的价格 c 必须等于 v ： 这恰恰就是（5.5）式。复制组合中所包含股票的股数也称为对冲比（hedge ratio）或期权的 。 给定状态价格，我们可以定义等价鞅测度： 并把期权定价公式重新写成 定义 则 这里 。所以， 在等价鞅测度 Q 下是鞅。 在二叉树股价过程假设下，证券市场（包括债券）是完全的。因此我们可以使用无套利原理，根据股票和债券的价格为期权定价。这就是著名的二叉树期权定价模型（binomial model for option pricing）。它是无套利原理在衍生证券定价中的一个重要应用。 5.5 期权与市场完全化 A 简单期权策略 先考察如下的“蝴蝶头寸”（butterfly position），这是由同一标的证券上的、到期日相同但执行价格不同的欧式看涨期权构成的组合： ● 买入 l 份执行价格为 的看涨期权； ● 卖出 2 份执行价格为 K 的看涨期权； ● 买入 1 份执行价格为 的看涨期权。 如图5.4所示。显然，只有当 时组合的支付才不为 0 。从这个意义上讲，蝴蝶头寸和状态或有证券的支付形式类似。 这个组合在1期的支付是 图 5.4 蝴蝶头寸的支付 X O 引入衍生证券如何能够使证券市场完全化。