复变函数与积分变换第七章z副本要点.ppt

第七章 Fourier变换 主 要 内 容 傅立叶变换的作用 （1）可以得出信号在各个频率点上的强度. （2）可以将卷积运算化为乘积运算. （3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段. （4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两 个不同的角度来看待图像的问题，有时在 空间域无法解决的问题在频域却是显而易 见的. Fourier变换的应用 本章内容总结 傅立叶的两个最主要的贡献—— “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点 求函数 的 Fourier 变换。 例 解 Matlab 程序 clear; syms a real; syms x; f = cos(a*x); F = fourier ( f )； 其中，Dirac 为 函数， pi 代表 F = pi * Dirac (w - a) + pi * Dirac (w + a) 输出 即 解 Matlab 程序 求函数 的 Fourier 变换。 例 clear; syms a real; syms x; F = fourier ( f )； f = a*sin(a*x)/(pi*a*x); 输出 F=1/pi*(1/2*pi*(Heaviside(-w+a)-Heaviside(w-a)) -1/2*pi*(Heaviside(-w-a)-Heaviside(w+a))) 其中， pi 代表 Heaviside 为单位阶跃函数， 求函数 的 Fourier 变换。 例 其中， pi 代表 输出 F=1/pi*(1/2*pi*(Heaviside(-w+a)-Heaviside(w-a)) -1/2*pi*(Heaviside(-w-a)-Heaviside(w+a))) Heaviside 为单位阶跃函数， 即 解 解 Matlab 程序 例 已知函数 频谱为 求 clear; syms a real; syms w; f = ifourier ( F )； F=1/(a+j*w); 输出 f = exp(-a*x)*Heaviside (x) 其中， exp 为指数函数。 Heaviside 为单位阶跃函数， 即 求解数学物理方程 线性性质 对称性质 相似性质 翻转性质 时移性质 频移性质 时域微分 频域微分 积分性质 卷积性质 Fourier变换 d 函数的 Fourier变换 基本性质 时移性质 频移性质 微分性质 反演公式 本章的重点 2. 会求简单的Fourier变换 1. Fourier 变换的定义及其性质 第七章 完 历史回顾—— Fourier级数 附： 1807 年 12 月 12 日，在法国科学院举行的一次会议上， Fourier 宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称： 在有限区间上由任意图形定义的任何函数 都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。 经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人(号称 3L)审阅后， 认为其推导极不严密，被拒(锯)收。 1811 年，Fourier 将修改好的论文： 提交给法国科学院。 《关于热传导问题的研究》 其新颖、实用，从而于 1812 年获得法国科学院颁发的 大奖，但仍以其不严密性被《论文汇编》拒(锯)收。 经过评审小组( 3L )审阅后，认为 历史回顾—— Fourier级数 附： 1822 年，Fourier 经过十年的努力，终于出版了专著： 《热的解析理论》 这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用 的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在 工程应用方面显示出巨大的价值。 历史回顾—— Fourier级数 附：