复变函数与积分变换第七章z要点.ppt

第七章 Fourier变换 主 要 内 容 傅立叶变换的作用 （1）可以得出信号在各个频率点上的强度. （2）可以将卷积运算化为乘积运算. （3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段. （4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两 个不同的角度来看待图像的问题，有时在 空间域无法解决的问题在频域却是显而易 见的. Fourier变换的应用 本章内容总结 傅立叶的两个最主要的贡献—— “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点 求函数 的 Fourier 变换。 例 解 Matlab 程序 clear; syms a real; syms x; f cos a*x ; F fourier f ； 其中，Dirac 为 函数， pi 代表 F pi * Dirac w - a + pi * Dirac w + a 输出 即 解 Matlab 程序 求函数 的 Fourier 变换。 例 clear; syms a real; syms x; F fourier f ； f a*sin a*x / pi*a*x ; 输出 F 1/pi* 1/2*pi* Heaviside -w+a -Heaviside w-a -1/2*pi* Heaviside -w-a -Heaviside w+a 其中， pi 代表 Heaviside 为单位阶跃函数， 求函数 的 Fourier 变换。 例 其中， pi 代表 输出 F 1/pi* 1/2*pi* Heaviside -w+a -Heaviside w-a -1/2*pi* Heaviside -w-a -Heaviside w+a Heaviside 为单位阶跃函数， 即 解 解 Matlab 程序 例 已知函数 频谱为 求 clear; syms a real; syms w; f ifourier F ； F 1/ a+j*w ; 输出 f exp -a*x *Heaviside x 其中， exp 为指数函数。 Heaviside 为单位阶跃函数， 即 求解数学物理方程 线性性质 对称性质 相似性质 翻转性质 时移性质 频移性质 时域微分 频域微分 积分性质 卷积性质 Fourier变换 d 函数的 Fourier变换 基本性质 时移性质 频移性质 微分性质 反演公式 本章的重点 2. 会求简单的Fourier变换 1. Fourier 变换的定义及其性质 第七章 完 历史回顾—— Fourier级数 附： 1807 年 12 月 12 日，在法国科学院举行的一次会议上， Fourier 宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称： 在有限区间上由任意图形定义的任何函数 都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。 经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人 号称 3L 审阅后， 认为其推导极不严密，被拒 锯 收。 1811 年，Fourier 将修改好的论文： 提交给法国科学院。 《关于热传导问题的研究》 其新颖、实用，从而于 1812 年获得法国科学院颁发的 大奖，但仍以其不严密性被《论文汇编》拒 锯 收。 经过评审小组 3L 审阅后，认为 历史回顾—— Fourier级数 附： 1822 年，Fourier 经过十年的努力，终于出版了专著： 《热的解析理论》 这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用 的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在 工程应用方面显示出巨大的价值。 历史回顾—— Fourier级数 附： 4. 微分性质 若 则 性质 证明 由 有 一、傅里叶变换的基本性质 一般地，若 则 记忆 由 4. 微分性质 若 则 性质 一、傅里叶变换的基本性质 记忆 由 上式可用来求 的 Fourier 变换． 4. 微分性质 同理，可得到像函数的导数公式 一、傅里叶变换的基本性质 证明 令 则 由微分性质有 又 有 即得 性质 5. 积分性质 一、傅里叶变换的基本性质 6. 帕塞瓦尔 Parseval 等式 证明 由 有 右边 左边 . 一、傅里叶变换的基本性质 一、傅里叶变换的基本性质 汇总 线性性质 相似性质 位移性质 时移性质 频移性质 Parseval 等式 积分性质 微分性质 直接进入 Parseval 等式举例? 一、傅里叶变换的基本性质 汇总 例 设 求 解 已知 根据线性性质和频移