数字信号处理第3章要点.ppt

第三章 自适应数字滤波器 ;3.1 引 言;　　自适应滤波器的特点是：滤波器的参数可以自动地按照某种准则调整到最佳滤波；实现时不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要。 常常将这种输入统计特性未知，调整自身的参数到最佳的过程称为“学习过程”。 将输入信号统计特性变化时，调整自身的参数到最佳的过程称为“跟踪过程”，因此自适应滤波器具有学习和跟踪的性能。 由于自适应滤波器有这些特点，自1967年威德诺(B.Widrow)等人提出自适应滤波器以来，在短短十几年中，自适应滤波器发展很快，已广泛地用于系统模型识别，通信信道的自适应均衡， 雷达与声纳的波束形成，减少或消除心电图中的周期干扰，噪声中信号的检测、跟踪、 增强和线性预测等。 ;3.2 自适应横向滤波器 ;图 3.2.1 自适应滤波器原理图 ;3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR滤波器 1. 自适应滤波器的矩阵表示式 图 3.2.2 表示的是一个有N个权系数的自适应线性组合器， 图中N个权系数w1,w2,…,wN受误差信号ej的自适应控制。对于固定的权系数，输出yj是输入信号x1j,x2j,…,xNj的线性组合，因此称它为线性组合器。这里的x1j,x2j,…,xNj可以理解为是从N个不同的信号源到达的瞬时输入，是一个多输入系统， 也可以是同一个信号源的N个序贯样本，如图 3.2.3 所示。因此它是一个单输入系统， 实际上这种单输入系统就是一个FIR网络结构， 或者说是一个自适应横向滤波器。其输出y(n)用滤波器的单位脉冲相应表示成下式： ;图 3.2.2 自适应线性组合器 ;图 3.2.3 自适应FIR滤波器 ; 这里w(n)称为滤波器单位脉冲响应，令：i=m+1,wi=w(i-1), xi=x(n-i+1)，n用j表示，上式可以写成 ; 2. 利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差 误差信号被用来作为权系数的控制信号。下面采用均方误差最小的准则，求最佳权系数。由(3.2.4)式，均方误差为 ;将(3.2.6)、 (3.2.7)式代入(3.2.5)式， 得到 ; (3.2.8)式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时， 均方误差信号E［e2j］是权系数的二次函数，即将(3.2.8)式展开时，公式中的权系数均以它的一次幂或二次幂出现。如果只有一个权系数w1,则E［e2j］是w1的口向上的抛物线；如果有两个权系数w1w2,则E［ej2］是它们的口向上的抛物面；对于两个权系数以上的情况，则属于超抛物面性质。 E［ej2］在自适应信号处理中是一个重要的函数，经常称它为性能函数。为选择权系数，使性能函数到达它的最小点， 一些有用的自适应方法都是基于梯度法的，我们用 表示E［ej2］的梯度向量，它是用E［ej2］对每个权系数求微分而形成的一个列向量， 用公式表示如下： ;(3.2.9) ; 对比第二章维纳滤波器的最佳解，结果是一样的。上式也称为维纳权矢量。当自适应滤波器的权系数满足上式时，均方误差将取最小值。将(3.2.12)式代入(3.2.8)式得到最小均方误差： ; 例 3.2.1 一个单输入的二维权矢量自适应滤波器如图 3.2.4所示，图中输入信号与期望信号分别为 ;图 3.2.4 两个权的自适应滤波器;上式表明性能函数E［ej2］对权函数是二次型的，用(3.2.11)式求梯度向量，得到 ;用(3.2.13)式求最小均方误差： ;3.2.2 性能函数表示式及其几何意义 在自适应滤波器的分析研究中，性能函数是一个重要函数， 前面已推导出性能函数用(3.2.8)式表示，重写如下： ;将(3.2.12)式代入上式，得到 ; 因为Rxx是对称的，正定或半正定的，利用它的特征值和特征向量再进一步简化，假设Rxx是N×N维，它的N个特征值为： λ1,λ2,…,λN，将Rxx进行分解，得到 ;式中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，qi称为特征向量，满足下式： ;则 ;也就是说，qi′为V′坐标中的第i个单位向量，qi′亦是Λ矩阵对应于λi的特征向量。下面用二维权矢量的情况说明它的几何意义。对于二维权矢量情况，有下面公式： ;图 3.2.5 二维权矢量性能表面 ;图 3.2.6 等均方误差的椭圆曲线族;按照(3.2.17)式，有 ;即 ;得到 ;3.2.3 最陡下降法 ;(3.2.33) ; 再将(3.2.24)式代入，再经过坐标平移，即代入Vj=Wj-W*式， 最后得到权系数的递推公式： ; 2. 收敛条件 由最陡下降法的递推公式不难分析出它的收敛条件，即当迭代次数j趋于∞时，权系数收敛最佳时的条件。按照上式