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山东大学刘希明辅导物理竞赛 按照两体问题求解，折合质量是m=m/2,作用内力就是安培力 (1) 相对速度是 ，在此力作用下，两体运动方程是 (2) 按照关系 ，得到初始时相对速度 （3） 积分(2)求出相对速度与时间的关系 (4) 进而求出右棒相对质心的速度 右棒相对实验室的速度由质心速度与相对质心速度得到 这是完全相同的结果。 （4） (5) 【例题】在一根较长的绝缘轻质弹簧的两端各系一个带正电的小球，弹簧的原长为l0,弹性系数为k,两个小球的质量与荷电分别是m1、q1与m2、q2.整个空间外加均匀电场，电场强度为E。开始弹簧保持原长，方向沿着电场强度方向，两个小球静止。试求加入电场后弹簧的最大长度(忽略两个小球之间的相互作用)。 ① ② m1q1 m2q2 klo E 质心将做加速运动，两个小球相对质心静止或做简谐运动。可求出它们之间的距离。 【解】系统受到外力是电场力，两个小球受到内力是弹性力，解决这个问题可以用不同的方法。首先分析质心的运动，系统受力是 (1) 质心的加速度是 (2) 静止平衡时质心到两个质点的距离分别是 （3） 在质心坐标系中，两根等效弹簧的弹性系数分别是 (4) 设两球在质心坐标系中处于平衡位置时，其坐标分别是x1与x2,其平衡方程分别是 (5) C x2 x1 由以上各式求出 (6) 对这个结果做出讨论. (1)如果 ，两个小球在质心坐标系中的坐标就是原长，因此两个小球的最大距离就是l0,弹簧保持自然长度。 (2)如果 ，则 表明处于平衡位置的两个小球，弹簧处于拉伸状态。亦即两个小球平衡位置处于原长的外侧。每个小球将在平衡位置附近作简谐振动，小球m1的振幅是x1-l10,能够达到的最远点c到质心的距离是2x1-l10. C l10 x1 a o c 同样分析m2的情况，得到最远点到质心的距离是2x2-l20. 求出两个小球的最大距离及弹簧的最大伸长是 （7） (3)如果 ，则 表明小球处于平衡位置时，弹簧处于压缩状态。平衡位置在初始位置的内侧。小球在此平衡位置附近作简谐振动，能够到达的离质心C的最远距离就是初始位置到质心的距离l10与l20,因此弹簧的最大伸长是原长l0. C l10 x1 o c a 【例题】两个完全相同的球面摆，一个栓在另一个的下面。两个摆球各自在一个水平面内做角速度相同的匀速圆周运动。设两根摆线与竖直方向的夹角都很小，而且在运动过程中两根摆线始终保持在同一个竖直平面内。在小角度近似下求此双摆系统做圆周运动的角速度以及半径的比例。 【解】如图设摆长为l,质量为m,圆周运动的角速度为w,摆线与竖直方向的夹角分别为a与b,上下摆线的张力分别为T1与T2。小球还受到重力作用。则满足方程 a b T1 mg T2 mg 第一种情况 (1) 上面的质点力平衡方程与圆周运动方程 下面质点力平衡方程及圆周运动方程是 (2) 上、下小球圆周运动半径是 由方程(2)消去张力T2，得到关系 (3) 联立方程(1)(2)消去张力T1与T2，得到关系 (4) 考虑到小角度近似 因为要求角度a、b都不为零，由(5)两式分别解出 由此(3)(4)写成 (5) 上式右边两项相等，进一步化成 由此解出角速度是 把其中的 代入(5)式，得到夹角之间的关系 (6) 这是图1所示的两个夹角都大于零的情况。 (7) 利用这个角度关系(7)，可以进一步求出上下两个小球圆周运动半径之间的关系。 (8) 对于(6)式的另一个解 同样代入(5)式求出夹角是 按照相同的办法求出两个圆周运动半径之间的比值是 (9) (10) a b 这个结果b20表明如图所示的物理图像。需要进一步从动力学角度分析。按照同样的分析写出图示的动力学方程。 可见只有取b0就得到第一种情况的方程。因此这种情况也是动力学允许的可能情况。 事实上，直接由(5)式出发 (5) 可以直接求出夹角之间的关系 进而求出圆周运动半径之间的比值。 【例题】单摆摆长为L，摆球质量为m,从左侧与竖直方向夹角a处静止下摆，在右侧与悬点相距r、与竖直方向夹角b(ba)处有一个钉子Q，忽略空气阻力。为使小球绕钉子做一个完整的圆周运动，求夹角a至少多大？为使小球能与钉子相碰，夹角a应多大？ a L m r O Q b a L m r O Q b q 【解】(1)运动过程中能量守恒。摆线被钉子Q阻挡后，质点做以钉子为圆心，