6.2 点估计评价标准.pptVIP

6.2 点估计的评价标准 一、问题的提出 二、无偏性 三、有效性 四、相合性 * 五、均方误差 一、问题的提出 从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不同.然而, 原则上都可以作为未知参数的估计量. 问题 (1) 对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2) 评价估计量优劣的标准是什么? 下面介绍几个常用标准： * 二、无偏性 定义6.1 * 证 例1 * 特别地, 不论总体 X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在, 显然 * 分析 例2 设总体X的方差Var(X)存在，且 Var (X) 0, (X1, X2 , ··· , Xn ) 为来自总体X的样本，试选择适当的常数C，使得 为Var (X)的无偏估计. 需选择C，使 * 而X1, X2 , ··· , Xn 相互独立，且与X 同分布 解 * 依题意，要求： * 注 一般地，一个参数? 的无偏估计量不唯一. 如：设样本(X1, X2 , ··· , Xn ) 来自总体X，E(X)=?, 也均是?的无偏估计. 问题： 对于同一个参数的多个无偏估计量，如何评价它们的优劣？ * 三、有效性 换句话说， 的波动越小，即方差 越小越好. * 定义6.2 * 例3 来自总体X的样本，问：下列三个对? 的无偏估计量哪一个最有效？ * 解 一般地，(可用求条件极值的拉格朗日乘数法证明)在? 的无偏估计量 注 * 三、相合性 例如 定义6.3 相合估计量(或一致 估计量). * 证 (1) 由大数定律知, 例4 * 由大数定律知, * 通过此例题,我们看到,要证明一个估计量具有相 合性,必须证明它依概率收敛,这有时很麻烦.因此,我们 下面我们不加证明的给出一个相合性的判定定理. * * 例5 设总体 的二阶矩存在, 是总体 的样本, 试证 是总体均值 的相合估计. 证明： * 所以 是 的相合估计 *