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《振动力学》 振动力学 CAI 例： 求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程 已知梁的抗弯刚度矩阵为 x1 x2 l/3 l/3 l/3 m1 m2 P1(t) P2(t) 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 由材料力学知， 当B点作用有单位力时，A点的挠度为： 柔度影响系数： 柔度矩阵： 位移方程： x1 x2 l/3 l/3 l/3 m1 m2 P1(t) P2(t) l a b A B P=1 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 例： 教材 P72 例4.1-2，求柔度阵 （1）在坐标 x1 上对质量 m1 作用单位力 系统在坐标 x1、x2、x3 上产生位移为: m1 m2 k1 k2 m3 k3 x1 x2 x3 解： （2）在坐标 x2 上对质量 m2 作用单位力 （3）在坐标 x3 上对质量 m3 作用单位力 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 柔度矩阵： 可以验证，有： m1 m2 k1 k2 m3 k3 x1 x2 x3 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 小结： 多自由度系统的位移方程： 柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵 位移的量纲 柔度矩阵： 柔度矩阵fij的含义为系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移 位移方程不适用于建立存在刚体自由度系统的动力学方程 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 n 阶方阵 A 正定 并且等号仅在 时才成立 是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 成立 如果 时，等号也成立，那么称矩阵 A 是半正定的 根据分析力学的结论，对于定常约束系统： 动能： 势能： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 标量 A 0 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 n 阶方阵 A 正定 并且等号仅在 时才成立 是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 成立 如果 时，等号也成立，那么称矩阵 A 是半正定的 动能： 除非 所以， 正定 即： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 振动系统的质量矩阵总为正定矩阵 A 0 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 n 阶方阵 A 正定 并且等号仅在 时才成立 是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 成立 如果 时，等号也成立，那么称矩阵 A 是半正定的 势能： 对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值 V 0 当各个位移 不全为零时， K 正定 K 0 对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移 对于不全为零的位移 存在 V ＝ 0 K 半正定 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 振动系统的刚度矩阵至少为半正定 A 0 振动问题中主要讨论 （1）M阵正定、K 阵正定 （2）M阵正定、 K 阵半正定 的系统 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 半正定振动系统 正定振动系统 耦合与坐标变换 矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项 质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合 刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合 以两自由度系统为例 不存在惯性耦合 存在惯性耦合 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 如果系统仅在第一个坐标上产生加速度 不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力 同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力 耦合的表现形式取决于坐标的选择 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 耦合 非耦合 出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力 例：研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型 表示车体的刚性杆AB的质量为m，杆绕质心C的转动惯量为Ic 悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧来表示 写出车体微振动的微分方程 选取D点的垂直位移 和绕D点的角位移 为坐标 A B C D a1 a2 e l1 l2 l k1 k2 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 A B C D a1 a2 e l1 l2 l k1 k2 A B C D a1 a2 e l1 l2 l k1 k2 简化形式 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 A B C D a1 a2 e l1 l2 l k1 k2 A B C D 车体所受外力向D点简化为合力 PD 和合力矩 MD 微振动，杆质心的垂直位移和杆绕质心的角位移： 采用拉氏方法建立方程 动能： 多自由度