双曲线的几何性质学案2.docVIP

第8课时　双曲线的几何性质(2) 　 教学过程 上节课,我们以焦点在x轴上的双曲线的标准方程-=1为例,研究了双曲线的简单几何性质,请完成以下的表格: 双曲线 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 定义 平面内,到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数2a(02aF1F2)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点是双曲线的焦点,常数2a为实轴长. 标准方程 -=1 (a0,b0) -=1 (a0,b0) 几 何 性 质 实轴长 2a 虚轴长 2b 焦距 2c 基本量的 关系 a2+b2=c2 离心率 范围 x≥a或x≤-a, y∈R y≥a或y≤-a, x∈R 顶点坐标 (±a,0) (0,±a) 焦点坐标 (±c,0) (0,±c) 渐近线方程 y=±x y=±x 对 称 性 对称中心 (0,0) 对称轴 x轴、y轴 双曲线上的点到中心距离的取值范围 (从此以下本节课研究后补充) 双曲线一支上的点到该侧焦点的距离的取值范围 双曲线一支上的点到异侧焦点的距离的取值范围 　　对照椭圆,双曲线还有几个最值需要我们研究(先说出你的猜想,然后再作判断或证明). 一、 数学运用 【例1】　(教材第46页例2)已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,焦距为16,离心率为,求双曲线的方程.[1] (见学生用书P29) [处理建议]　本题的基本量a,b,c之间的关系比较清晰,引导学生首先求出a,b,然后判断焦点的位置. [规范板书]　解　根据题意知2c=16,所以c=8.又e==,所以a=6,所以b2=c2-a2=28. 又因为中心在坐标原点,焦点在y轴上,所以双曲线的方程为-=1. [题后反思]　本例是一道简单的、典型的由双曲线的几何性质确定其标准方程的问题,熟练掌握双曲线标准方程的基本量a,b,c,e间的关系是解此类问题的关键. 变式1　已知双曲线的焦点在y轴上,焦距为16,渐近线方程为y=±x,求双曲线的方程. [规范板书]　解　因为双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的方程为-=1,则渐近线方程为y=±x. 因为渐近线方程为y=±x,所以=,即a2=3b2.又a2+b2=c2=64,解得 故双曲线的方程为-=1. 变式2　已知双曲线的焦距为16,渐近线方程为y=±x,求双曲线的标准方程. [规范板书]　解　①若双曲线的焦点在x轴上,则可设双曲线的方程为-=1,所以渐近线方程为y=±x. 因为渐近线方程为y=±x,所以=,所以b2=3a2.又a2+b2=c2=64,所以 故双曲线的方程为-=1. ②若双曲线的焦点在y轴上,则可设双曲线的方程为-=1,则渐近线方程为y=±x. 因为渐近线方程为y=±x,所以=,所以a2=3b2.又a2+b2=c2=64,解得 故双曲线的方程为-=1. 综上,所求双曲线的方程为-=±1. 变式3　求一条渐近线方程为3x+4y=0,且经过点的双曲线的标准方程. [规范板书]　解　依题可设双曲线的方程为-=λ(λ≠0).又双曲线经过点,所以-=λ,解得λ=1,因此双曲线的标准方程为-=1. 【例2】　已知双曲线-=1(0ab)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为c,求该双曲线的离心率. (见学生用书P30) [处理建议]　利用点到直线的距离公式寻找关于a,c的关系式,即可求得离心率e. [规范板书]　解　因为直线l过(a,0),(0,b)两点, 所以直线l的方程为bx+ay-ab=0. 由原点到直线l的距离为c,得=c,故3c2(a2+b2)=16a2b2. 将b2=c2-a2代入上式,整理得3c4-16a2c2+16a4=0. 两边同除以a4后令=x,得3x2-16x+16=0, 解得x=4或x=. 因为e==,故e=2或e=, 又由条件0ab知e==,故e=舍去,所以e=2. [题后反思]　在方程的求解过程中适当换元可以简化计算,另外要关注题中的约束条件0ab. *【例3】　已知F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.[2] [处理建议]　请学生类比椭圆相关问题进行分析(双曲线的定义结合余弦定理). [规范板书]　解　设PF1=m,PF2=n,则易得mn=2. 故=mn=1. [题后反思]　若把90°换成60°呢? 方法不变,同样应用双曲线的定义结合余弦定理可得易得mn=4. 故=mnsin60°=. 此类问题属双曲线的焦点三角形问题,可类比椭圆相关问题来解决,其解决方法为:在△F1PF2中,应用双曲线的定义及余弦定理(或正弦定理). 二、 课堂练习 1.已知曲线+=1,当m∈[-2,-1]时,该曲线的离心率e的取值范围是?　.? 提示