安徽省六安市2015-2016学年高二数学下册开学考试试题.docVIP

六安一中2015-2016学年高二年级第二学期开学考试 数学试卷 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.在锐角中，，其面积，则（ ） A．5 B．或 C． D． 2.关于实数的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3.过抛物线的焦点作直线交于两点，若，则（ ） A．16 B．12 C．10 D．8 4.已知数列是等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（ ） A．32 B．36 C．24 D．22 6.若实数满足不等式组，则的最大值为（ ） A．11 B．-11 C．13 D．-13 7.已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8.直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 9.在正三棱柱中，已知，则异面直线和所成角的正弦值为（ ） A．1 B． C． D． 10.若正数满足，则（ ） A．有最大值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 11.在直三棱柱中，分别是和的中点，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 12.已知为抛物线的焦点，点在抛物线上且位于轴的两侧，（为坐标原点），则与面积之和的最小值为（ ） A．2 B．3 C． D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在中，分别为角的对边，已知，则 . 14.设数列的前项和，且成等差数列，则 . 15.已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点，是两曲线的一个公共点，若，则 . 16.如图，边长为的等边三角形的中线与中位线交于，已知（面）是绕旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面平面；②面；③三棱锥的体积最大值为；④动点在平面上的射影在线段上；⑤二面角的平面角的取值范围是. 其中正确的命题是 （写出所有正确命题的编号）. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知命题，命题方程表示焦点在轴上的双曲线. ⑴命题为真命题，求实数的取值范围； ⑵若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围. 18（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，，且成等比数列，公比不为1. ⑴求数列的通项公式； ⑵设，求数列的前项和. 19.（本小题满分12分）在中，分别为角的对边，若. ⑴求角的大小； ⑵已知，求面积的最大值. 20.（本小题满分12分）如图，椭圆的右焦点为，右顶点，上顶点分别为且. ⑴求椭圆的离心率； ⑵若斜率为2的直线过点，且交椭圆于两点，且，求椭圆的方程. （本小题满分12分）在如图所示的多面体中，底面的梯形，平面，，为的中点. ⑴求证：平面； ⑵求证： ⑶求二面角的正弦值. 22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆相交于点. ⑴求抛物线的方程； ⑵过点是否存在直线与椭圆交于两点，且以为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 六安一中2015-2016学年高二年级第二学期开学考试 数学试卷参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B B B A A C A C A B 填空题 2 14. 15. 16.①②③④ ⑴⑵或 ⑴⑵ ⑴因为，所以由正弦定理，得 ，整理得 所以 在中，，所以 ⑴由已知 即 ⑵由⑴知椭圆 设 直线的方程为 即 即 从而 所以椭圆的方程为 ⑴证明： 为的中点，，且，所以四边形是平行四边形 因为不在平面中，在平面内，所以平面； ⑵证明：平面平面平面 两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由已知得： ，； ⑶由已知得是平面的法向量，设平面的法向量为 ，令 即，设二面角的大小为， 则 所以二面角的正弦值为. ⑴ ⑵若垂直于轴，不符合. 设正方形第三个顶点坐标为 令，代入得 所以 则线段的中垂线方程为 所以. 因为，得 即，由代入得 所以直线方程为.