椭圆的标准方程学案.docVIP

第2课时　椭圆的标准方程(1) 　 教学过程 一、 问题情境 汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们究竟是不是椭圆呢? 是否是椭圆应该看其是否符合椭圆的基本特征(性质),那么又该如何研究椭圆的性质呢?回忆解析几何研究问题的基本方法,研究椭圆,先建立椭圆的方程. 二、 数学建构 回顾椭圆的概念: 一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距. 特别地: 当MF1+MF2=F1F2时,动点M的轨迹是线段F1F2;　　 当MF1+MF2F1F2时,动点M的轨迹不存在. 构建椭圆方程: 设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点到F1,F2的距离的和为2a(2a2c). 以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图1),则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0). (图1) 设P(x,y)为椭圆上任意一点,根据椭圆的定义知 PF1+PF2=2a, 即 QUOTE + QUOTE =2a.[2] 将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a QUOTE +(x-c)2+y2, 即a2-cx=a QUOTE . 两边再平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2, 整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2). 因为a2-c20,所以可设a2-c2=b2(b0),于是得b2x2+a2y2=a2b2, 两边同时除以a2b2,得 QUOTE + QUOTE =1(ab0). 由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上. 这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为F1(-c,0),F2(c,0). 　(图2) 问题1　如果将椭圆的焦点建立在y轴上,即焦点为F1(0,-c),F2(0,c)(如图2),你能快速得出椭圆的方程吗? 解法一　两个椭圆关于直线y=x对称,故只需要将方程 QUOTE + QUOTE =1(ab0)中的x,y互换即可得到方程 QUOTE + QUOTE =1(ab0). 解法二　从定义出发,将 QUOTE + QUOTE =2a变换为 QUOTE + QUOTE =2a. 可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2). 设a2-c2=b2(b0),于是得a2x2+b2y2=a2b2, 两边同时除以a2b2,得 QUOTE + QUOTE =1(ab0). 所以,当焦点在y轴上时,我们可以得到焦点为F1(0,-c),F2(0,c)的椭圆的方程为 QUOTE + QUOTE =1(ab0). 以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2). 问题2　如何判断椭圆标准方程中焦点的位置? 解　看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上. 巩固练习　求下列椭圆的焦点坐标: (1)  QUOTE + QUOTE =1; (2) 16x2+7y2=112. [规范板书]　解　(1) c2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(-3,0)和(3,0). (2) 方程可化为 QUOTE + QUOTE =1,所以c2=16-7=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,-3)和(0,3). [题后反思]　求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化为标准形式. 三、 数学运用 【例1】　已知方程 QUOTE + QUOTE =1表示焦点在x轴上的椭圆,求k的取值范围. (见学生用书P17) [处理建议]　引导学生思考焦点在x轴上的椭圆的标准方程满足的条件. [规范板书]　解　因为椭圆焦点在x轴上, 故 QUOTE 所以7k10. [题后反思]　学生可能会忽视前两个条件(不等式),题目解答完毕注意总结此时应需要3个条件(不等式). 变式　若上述方程表示一个椭圆,求k的取值范围. [处理建议]　让学生思考条件改变时,解题过程中哪个环节会发生变化. [规范板书]　解　由题意可得 QUOTE  所以4k10且k≠7. [题后反思]　学生可能会进行分类直接得到结果,亦可能用上述方法解答,但会忽视第三个条件,此时不妨反问:若k-40,10-k0,k-4=10-k,则方程表示的曲线是什么?答:圆.[3] 【例2】　(根据教材第32页练习第2题改编)求适合下列条件的椭圆的标准