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“１”在解题中的妙用 江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 225300 “1”是一个最基本的数，但它在解决有关数学问题时，却扮演着非常重要的角色．解题时，恰到好处地运用，能意想不到的效果． 　　一、加1　　例1 把，，， 四个数按从小到大的顺序排列的是 （ ）． 　　(A) (B) 　　(C) (D) 　　解析：将四个数都加1，它们的大小关系不变． 　　将，，， 四个数都加1，得 　　，，，． 　　∵， 　　∴． 故选B）． 例x2－x= 790320．解析：．x2－x＋＝79032＋x－2＝．∴x1＝－＝． 例已知、、均为非零实数，且a2＋b2＋c2 ＝1①， ②．求a＋b＋c的值．解析：将②式每一大项分别加1后进行处理． 将②式变形为即∴． ∴，或． 由，得ab＋bc＋ca＝0③ 又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)将①式和③式代入，得 (a＋b＋c)2＝1＋2×0＝1 ∴a＋b＋c＝±1． 综上所述，a＋b＋c的值为―1，0或1． 　　二、减1例 解方程． 解析：将方程右边的每一大项分别减去1后进行处理． 原方程， 即， 也即． ∴当时，，即； 当，方程有无数个解． 　　例 求方程xy－x＋y＝3的整数解．解析：将方程边减去1后进行处理．方程两边都减去1，得 xy－x＋y－1＝3－1，即(x＋1)(y－1)＝2． 　　∵ x、y是整数 　　∴，，， 　　解得 ，，，． 　　三、乘1 　　例 化简： （n为正整数）． 分析：利用1＝2－1，在原式前面乘以(2－1)，再运用乘法分配律． 解：原式 ． 例 数N＝(2＋1) (22＋1) (24＋1) (28＋1)·……·(2128＋1)＋1的个位数是 （ ）．　　(A)2(B) 4 (C)6 (B)8　　解析：利用1＝2－1，在原式前面乘以(2－1)，再运用平方差公式． 　　N＝1×(2＋1) (22＋1) (24＋1) (28＋1)·……·(2128＋1)＋1 　　＝(2－1) (2＋1) (22＋1) (24＋1) (28＋1)·……·(2128＋1)＋1 　　＝(22－1) (22＋1) (24＋1) (28＋1)·……·(2128＋1)＋1 　　＝(24－1) (24＋1) (28＋1)·……·(2128＋1)＋1 　　＝…… 　　＝(2128－1)·(2128＋1)＋1 　　＝256＝1664． 　　因为1664的个位数是6，故选C）． 　　例 化简 （其中a≠1，n为正整数）． 　　解析：利用，在原式前面乘以，再反复运用平方差公式． 　　原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝． 　　四、利用1的恒等代换 　　例 化简：． 　　解析：利用1＝进行代换． 　　原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝． 　　例 若n满足(2009－n)2＋(n－2008)2＝1，则(2009－n) (n－2008)＝______． 　　解析：利用1＝(2009－n)＋(n－2008)进行代换． 　　两边平方得 　　(2009－n)2＋(n－2008)2＋2(2009－n) (n－2008)＝1 　　由已知条件(2009－n)2＋(n－2008)2＝1，得 　　2(2009－n) (n－2008)＝0 　　即(2009－n) (n－2008)＝0． 　　例1 已知0°α45°，化简． 　　解析：利用进行代换． 　　原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝0°α45°，∴） 　　＝． 　　五、利用1的条件代换 　　例 已知，解方程． 　　解析：利用1＝abc进行代换． 原方程即将代入方程，得即．∴． 　　例1 已知a、b、c、d均为实数，且ad―bc＝1，a2＋b2＋c2＋d2―ab＋cd＝1，求abcd的值． 　　解析：利用1＝ad―bc进行代换． 　　将1＝ad―bc代入式，得　　a2＋b2＋c2＋d2―ab＋cd＝ad―bc 　　即a2＋b2＋c2＋d2―ab＋cd―ad＋bc＝0 　　两边乘以2，配方得 　　(a―b)2＋(c＋d)2＋(d―a)2＋(b＋c)2＝0 　　根据非负数的性质，得 　　a―b＝0，c＋d＝0，d―a＝0，b＋c＝0 　　∴a＝b＝d＝―c． 　　代入，得 a2＝∴abcd＝― a4＝． 　　例 已知a、b均为正数，且a＋b＝1，求的最小值． 　　解析：利用进行代换． 　　设a＝，b＝，则 　　＝． 　　当x＝0时，上式的分母取得最大值，同时分子取得最小值， ∴的最小值为．七、利用一元二次方程的特殊根1对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，方程有一个根为1，a＋b＋c＝0；反之，a＋b＋c＝0，方程必有一个根为1．　　例已知a、b、c均为非零实数，且(bc―ab)2―4(ca―bc)(ab―ca)＝0，求证