中学数学竞赛讲座及练习(第17讲)+应用问题的算术解法与代数解法学生版.doc

第讲 应用问题的算术解法与代数解法 　　从小学到中学，数学课程最显著的变化，就是从算术学习到代数和几何的学习．仅就代数来说，它的基本课题是着眼于利用运算来讨论各种数学问题．从发展的角度看，代数学是在“数”与“运算”的基础上有系统地发展起来的．首先扩大了数的范围，从正整数、正分数和零发展到有理数、实数；其次，在用字母表示数的基础上，应用“运算律”解代数方程和研究代数式．由于在常见的数量关系中，可以说应用问题是最基本的讨论对象，因此，在小学和中学的数学课中，都有解应用问题这一内容．只不过在小学是用“算术解法”，而在中学是用“代数解法”．下面举几个典型实例，来比较一下这两种解法的不同，从而进一步体会代数解法的优越性． 　　1 某农场计划播种小麦与大豆共138公顷，种小麦的面积是种大豆面积的4倍．试问该农场应种小麦与大豆各多少公顷？ 算术解法 由本题所给的条件可知，播种总面积等于种大豆面积的(4+1)倍，因此种大豆的公顷数=总播种公顷数÷(4+1)， 种小麦的公顷数=总播种公顷数-种大豆的公顷数，即 138÷(4+1)=27.6(公顷)， 138-27.6=110.4(公顷)． 　　27.6公顷，小麦110.4公顷． 　　x表示要求的一个未知量，例如，设种大豆x公顷；再由题目的条件可知，种小麦4x公顷．因此，只要根据关系式 　　=种小麦公顷数+种大豆公顷数 　　138”，就可以直截了当地写出以下等式(含有未知数的等式，也叫方程) 4x+x=138． 　　x是一个未知数，但它终归是一个数，所以可以对它应用运算律．为此，我们对上式做如下变形 (4+1)x=138， 即 5x=138． 　　5，得 x=27.6(公顷)． 　　4x=4×27.6=110.4(公顷)． 　　27.6公顷，种小麦110.4公顷． 　　x表示待求的未知量，再考虑待求的未知量x与已知数量之间的关系，然后直截了当地列出一个等式，再应用运算律(或等式的基本性质)，求出这个未知数x应取的数值，使问题得到解决． 　　2 鸡兔同笼．共有56个头，160只脚，试问鸡、兔各多少只？ 　　160只脚，如果我们假定每只兔抬起2只脚，每只鸡抬起一只脚，则落地的脚是160只的一半，即80只脚．这80只脚中鸡的脚数与头数相等．因此， 　　80-56=24(只)； 　　56-24=32(只)． 　　x只，则鸡为(56-x)只，兔的脚数为4x，鸡的脚数为2(56-x)，又由已知条件，鸡兔一共有160只脚，可列出方程 4x+2(56-x)=160． 　　去括号 4x+112-2x＝160， 　　合并同类项 4x-2x＝160-112， 　　2x=48， 　　　　 x=24()…兔数． 　　　　56-24=32()…鸡数． 　　x代表兔(或鸡)的数量，然后便可根据已知条件，顺理成章地找出等量关系，列出方程．下一步解方程求未知数x的值，只是进行变形和运算，不需要什么特殊技巧．因此，代数解法具有一般性，这也是它优于算术解法之所在． 　　3，初步讨论一下这个问题． 　　3 设有5元和10元的人民币共12张，共计85元，问其中5元、10元的人民币各几张？ 　　5元的人民币，则共计 5×12=60(元)， 　　与总和相差 85-60=25(元)． 　　10元的票子去换一张5元的票子，使得总张数保持不变，每换一次，总值将增加 10-5=5(元)． 　　25元呢？这只要做一次除法就行了，即25÷5=5．所以答案是 　　10元人民币的张数=(85-60)÷(10-5) ① =25÷5＝5． 　　5元人民币的张数=12-5=7． 　　10元人民币的张数为x，则5元人民币的张数为(12-x)，其中x是一个待求的未知数，在此它只是10元人民币张数的简写，利用上述未知数符号，根据 　　10+5元人民币的总元数=85，则可写出下列方程 10x+5(12-x)=85． ② 　　x值，就可得到解答了． 　　用分配律，去掉②中之括号，得 10x+5×12-5x＝85， 　　由交换律、分配律得 (10-5)x+60＝85， 　　60，得 (10-5)x=85-60， 　　(10-5)，得 x=(85-60)÷(10-5)=5． ③ 　　x，表示问题中待求的量(如10元人民币的张数)，然后把未知数代入问题中，列出方程，再用运算律和等式的性质，求出方程中未知量x的值．在本例中，方程②的解就是③式 x=(85-60)÷(10-5)=5． 　　容易看出，算术解法其实就是上面由代数方程②所得的求值公式③，然后对于公式③中的每一步进行计算： 60=5×12， 85-60=25， 10-5=5， (85-60)÷(10-5)＝25÷5=5． 　　并对每一步计算找出合适的理由加以解释就是了． 　　同学们可能会问，在算术解法中