材料力学 第3章剪切和扭转分析.ppt

? ? T=m ? 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。 式中：G是材料的一个弹性常数，称为切变模量（剪切弹性模量），因? 无量纲，故G的量纲与? 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。 （3-8） （3-9） §3–6 圆杆扭转时的应力 等直圆杆横截面应力 ①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面 1. 横截面变形后 仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。 一、等直圆杆扭转实验观察： 二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系： 距圆心为 ? 任一点处的??与到圆心的距离?成正比。 —— 扭转角沿长度方向变化率。 2. 物理关系： 胡克定律： 代入上式得： 3. 静力学关系： O dA ? 令 代入物理关系式 得： (3-10) (3-12) —横截面上距圆心为?处任一点剪应力计算公式。 4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 ? —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩(二次极矩），纯几何量，无物理意义。 单位：m4。 ③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面： D ? d? O （3-11） 对于空心圆截面： d D O ? d? （3-16） ④ 应力分布 （实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。 ⑤ 确定最大剪应力： 由 知：当 WP — 扭转截面系数 几何量，单位：m3。 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： 三、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： 对于等截面圆轴： ([?] 称为许用剪应力。) 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： 例3-5一受扭圆杆，直径d=60mm。试求1-1截面上K点的切应力。 解：1-1截面扭矩： T=-2kN·m K点切应力： T代绝对值，国际单位Pa 例3-6一受扭圆杆，直径d=80mm。材料的许用切应力[τ]=40MPa。试校核该杆的强度。 解：杆的扭矩图： 最大切应力： 满足强度条件 例3-7一受扭圆杆，材料的许用切应力[τ]=40MPa。试选择圆杆的直径。 解：杆的扭矩图： 强度条件： Tmax=5kN·m 得： 回顾： ? ? （3-7） a c d dx b ? ? dy ?′ ?′ t z ? 切应力互等定理： 回顾： （3-8） 剪切胡克定律： （3-9） —— 扭转角沿长度方向变化率。 实心圆杆： 变形几何关系： 回顾： 物理关系： 回顾： 静力学关系： O dA ? 令 (3-10) D ? d? O （3-11） 实心圆杆： 对于空心圆截面： d D O ? d? （3-16） 回顾： (3-12) 最大剪应力： 回顾： WP — 扭转截面系数 几何量，单位：m3。 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： 回顾： 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： §3–7 圆杆扭转时的变形 一、扭转时的变形 由公式 知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角? 为 （3-18） 计算扭转角? 公式： §3–7 圆杆扭转时的变形 一、扭转时的变形 （3-18） 计算扭转角? 公式： 二、单位扭转角? ： 或 三、刚度条件 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 [? ]称为单位长度许用扭转角。 刚度计算的三方面： ① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： 有时，还可依据此条件进行选材。 一、等截面轴： 极险应力出现在扭矩最大处Tmax，变形最严重处 例3-8一受扭圆杆，直径d=80mm。材料的切变模量G=8×104MPa,[θ]=0.8°/m。试求（1）A、C两截面相对扭转角φAC；（2）