第2章 单自由度系统自由振动分析.ppt

* 《振动力学》 * 评价阻尼对振幅衰减快慢的影响 与 t 无关，任意两个相邻振幅之比均为 衰减振动的频率为 ，振幅衰减的快慢取决于 ，这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部 减幅系数 单自由度系统自由振动 定义为相邻两个振幅的比值： * 《振动力学》 * 减幅系数： 含有指数项，不便于工程应用 实际中常采用对数衰减率 ： 单自由度系统自由振动 * 《振动力学》 * 实验求解 利用相隔 j 个周期的两个峰值 进行求解 得： 当 较小时（ ） 单自由度系统自由振动 * 《振动力学》 * 第二种情况： 过阻尼 动力学方程： 特征方程： 特征根： 特征根： 两个不等的负实根 振动解： c1、c2：初始条件决定 单自由度系统自由振动 * 《振动力学》 * 过阻尼 振动解： 设初始条件： 则： 一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 单自由度系统自由振动 响应图形 * 《振动力学》 * 第三种情况： 临界阻尼 动力学方程： 特征方程： 特征根： 特征根： 二重根 振动解： c1、c2：初始条件决定 单自由度系统自由振动 * 《振动力学》 * 振动解： 临界阻尼 则： 也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 临界阻尼系数 单自由度系统自由振动 设初始条件： 响应图形 * 《振动力学》 * t x(t) 临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 三种阻尼情况比较： 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 * 《振动力学》 * 小结： 动力学方程 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 按指数规律衰减的非周期蠕动 按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快 振幅衰减振动 * 《振动力学》 * 例：阻尼缓冲器 静载荷 P 去除后质量块越过平衡位置的位移为初始位移的 10％ 求： 缓冲器的相对阻尼系数 单自由度系统自由振动 k c x 0 x0 P m 平衡位置 * 《振动力学》 * 解： 由题知 设 求导 ： 设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为： 即经过半个周期后出现第一个振幅 x1 单自由度系统自由振动 k c x 0 x0 P m 平衡位置 * 《振动力学》 * 由题知 解得： 单自由度系统自由振动 * 《振动力学》 * 例： 单自由度系统自由振动 刚杆质量不计 求： （1）写出运动微分方程 （2）临界阻尼系数，阻尼固有频率 小球质量 m l a k c m b * 《振动力学》 * 解： 单自由度系统自由振动 阻尼固有频率： 无阻尼固有频率： m 广义坐标 力矩平衡： 受力分析 l a k c m b * 《振动力学》 * 教学内容 无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 阻尼自由振动 等效粘性阻尼 单自由度系统自由振动 * 《振动力学》 * 等效粘性阻尼 － 阻尼在所有振动系统中是客观存在的 单自由度系统自由振动 － 大多数阻尼是非粘性阻尼，其性质各不相同 － 非粘性阻尼的数学描述比较复杂 － 处理方法之一： 采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼 原则： 等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量 * 《振动力学》 * 单自由度系统自由振动 － 通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然为简谐振动 － 该假设只有在非粘性阻尼比较小时才是合理的 － 粘性阻尼在一个周期内消耗的能量 可近似地利用无阻尼振动规律计算出： 目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼系数 － 讨论以下几种非粘性阻尼情况： 干摩擦阻尼 平方阻尼 结构阻尼 * 《振动力学》 * 单自由度系统自由振动 （1）干摩擦阻尼 库仑阻尼 摩擦力： ：摩擦系数 ：正压力 ：符号函数 摩擦力一个周期内所消耗的能量： 等效粘性阻尼系数： * 《振动力学》 * 单自由度系统自由振动 （2）平方阻尼 工程背景：低粘度流体中以较大速度运动的物体 ：阻力系数 等效粘性阻尼系数： 阻尼力与相对速度的平方成正比，方向相反 摩擦力： 在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2： * 《振动力学》 * 单自由度系统自由振动 （3）结构阻尼 由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼称为结构阻尼 ：比例系数 等效粘性阻尼系数： 特征：应力－应变曲线存在滞回曲线 内摩擦所耗散的能量等于滞回环所围的面积： 加载和卸载沿不同曲线 应变 应力 加载 卸载 0 * 《振动力学》 * 单自由度系统自由振动 * * 《振动力学》 * 解法1： 广义坐标 动能 势能 零势能位置1 零势能位置1 单自由度系