力学8振动课件.ppt

简谐振动的复数表示 利用复数形式表示振动具有求导、积分、求模（振幅）等计算方面的便利性。 振动位移 振动速度 振动加速度 振幅（求模） 阻尼振动 保守振动系统是理想情况，实际中总是存在阻力。在有阻力的情况下，振动系统的动力学方程迎修改为： f对应着阻力项，其方向与速度v方向总是相反，在一定条件下（如低雷诺数的流体中）是速度v的线性函数，即： 动力学方程为： 阻尼振动 令 ， 运动学方程可写为： 将 代入方程，可得： 要使 有非零解， 阻尼振动 解得： （1） ， ，w为复数，其实部对应振动频率，虚部对应衰减。考虑到实际振动频率为正值，因此取 ，运动方程为： 反映其实际运动的实部 阻尼振动 固有角频率： 固有周期： 振幅随时间的衰减： t x o A0 T 阻尼振动 （2） ， ， 为纯虚数，其实部为零即没有振动项，故实际运动为物体从初始位置开始向平衡位置缓慢移动，但还未到达平衡位置其能量已耗散殆尽，最终未能越过平衡位置完成往复。这种情况称之为过阻尼，其运动方程： t x o 阻尼振动 （3） ， ， 为阻尼振动和过阻尼状态的临界点。这重情况下物体从初始位置开始向平衡位置移动，刚到达平衡位置时其能量即耗散殆尽，最终未能越过平衡位置完成往复。这种状态称之为临界阻尼。 t x o 受迫振动 由刚才阻尼振动的讨论中我们可以知道，若没有外部能源，具有耗散的振动系统是不能持久的。现在我们讨论系统在周期性外力驱动下的振动，我们将这个周期性外力称为策动力，其表示形式为： 相应的动力学方程演变为： 令 ， ， ，将动力学方程化为： 受迫振动 将运动学方程写成复数形式，可得： 观察上式，认为振动频率与策动力频率相同是合理的，因此将 代入方程，有： 解得： 受迫振动：位移共振 得到： 振幅A关于策动频率w的函数图象为： o A 1 w /w 0 无阻尼 阻尼较小 阻尼较大 可以发现，无论取w还是w0作为变量，振幅随频率都有极大值，这种现象称之为共振。 受迫振动：位移共振 根据位移振幅关于角频率的响应： 在dA/dw=0时我们能够得到相应的共振峰位： 在弱阻尼条件下，即 有： 受迫振动：速度共振 受迫振动的运动方程： 将其对时间t求导可得速度随时间的函数： 利用欧拉公式 ， 上式的意义是速度幅值在数值上和位移振幅具有关系 ，而速度的相位相比位移滞后p/2，即 受迫振动：速度共振 速度幅值随频率的变化关系： 速度幅值v关于策动频率w的函数图象为： 同样在dv/dw=0时我们能够得到相应的共振峰位： v o 1 w /w 0 ?? =(?2 t+? 2)-(?1 t+? 1) 相位差 对两同频率的谐振动 ?? =?2-?1 同相和反相 当?? = ?2k? ， ( k =0, 1, …)，两振动步调相同，称同相 当?? = ?(2k+1)? ，( k =0, 1,…)， 两振动步调相反，称反相 o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T 同相 t x x o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T t 反相 同频率平行简谐振动的合成 若一个质点同时参与两个同频率且方向平行的简谐振动，即： 其合振动： 其中： 同频率平行简谐振动的合成 （1）当 时， （2）当 时， 不同频率平行简谐振动的合成：拍 若一个质点同时参与两个方向平行但是不同频率的简谐振动，即： 为简化问题，我们假设两个振动的振幅和初相位相同： 利用和差化积公式： 不同频率平行简谐振动的合成：拍 合振动包含一个随t变化较慢的余弦因子 和一个随t变化较快的余弦因子