习题课三(数值积分和数值微分).ppt

用三点公式求 在x=1.0，1.1，1.2处的导数值，f (x)的函数值如下所示 * * 习题课 数值微分和数值积分 0.206612 0.6226757 0.25000 f (xi) 1.2 1.1 1.0 xi 解：x0=1.0，x1=1.1，x2=1.2；h=0.1 6.若用复化梯形公式与复化辛卜生公式计算积分 ，问区间[0，1]应多少等分才能使截断误差不超过0.5×10-5？若改用复化辛普生公式，要得到同样精度区间[0，1]应多少等分？ 解：利用给定的精度和两种方法的余项公式进行计算 0≤x≤1 由复化梯形截断误差公式，得 解得 所以积分区间应等分213份 由复化辛卜生截断误差公式，得 所以积分区间应等分4份 解得 已知 (1)推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上 的插值型求积公式。 (2)指明求积公式所具有的代数精度。 (3)用所求公式计算 。 (4)指出所得公式与一般的Newton-Cotes型公 在形式上的重要区别。 解:(1) 所以该插值型求积公式为 (2)求代数精度，f (x)分别取1，x，x2, x3， …代入求积公式 左边=1 右边= 左=右 右边= 左边= 左=右 左边= 右边= 左=右 右边= 左边= 左=右 右边= 左边= 左≠右 所以该公式具有3次代数精度 （3）计算积分值 （4）这也是一个等距节点的插值公式， 它与一般Newton-Cotes公式的区别是该 公式的求和项中不包含积分的上下限对 应的函数值 已知飞机在高度H的上升速度v(H)如下: 10.0 10 22.5 8 46.0 2 40.0 4 32.2 6 50.0 0 v(H)(km/s) H(km) 用复化梯形公式求从地面（H=0）上升到 H=10km高空所需的时间 解:复化梯形 试确定积分公式中的A、B、C使积分公式的代数精度最高，并指出实际的代数精度 解：令f (x)=1，x，x2，则 给定求积分公式 f (x)=1 左边 右边 f (x)=x2 左边 右边 f (x)=x 左边 右边 解得 关于A、B、C的三元一次方程组 该积分公式可写为 下面确定该公式实际代数精度 再取f (x)=x3 左边 右边 左边≠右边，所以该求积公式具有3阶代 数精度。 再取f (x)=x4代入，得 左边= 右边= 用龙贝格方法计算下列积分 要求精确到10-2 解：（1） （2）将区间[0，1]二等分，x=0. 5是新 分点，得 在区间[0，1]上使用梯形公式，得