第二章维纳滤波和卡尔曼滤波详解.ppt

第二章　维纳滤波和卡尔曼滤波 2.1 引言 非因果情况 因果情况 由于 取值不同，可说明非因果情况的 一定小于等于因果情况 。 具体计算中，可选单位圆作为积分曲线，应用留数定理， 计算积分函数在单位圆内的极点的留数来求得 。 因果滤波器的设计步骤： （1）根据观测信号 的功率谱求出它所对应的信号模型的传输函数，即采用谱分解的方法得到 。具体方法为 。把单位圆内的极零点分配给 ，单位圆外的极零点分配给 ，系数分配给 。 （2）求 的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即舍掉单位圆外的极点，得 。 （3）积分曲线取单位圆，应用 和 计算公式，计算 和 。 例:已知 ,信号和噪声不相关,即 ， 噪声 零均值，单位功率的白噪声 ，求 和 。 解：根据白噪声特点得出 ，由信号和噪声不相关得 两边取Z变换，代入已知条件，对 进行功率谱分解： 必须为因果稳定的系统，得 分析物理可实现情况, 令 , 的极点为0.8和2，考虑因果性，稳定性，仅取单位圆内的极点 ， 为 的Z反变换，应用留数定理，有 取 的因果部分 取单位圆为积分围线，上式等于单位圆内极点 及 的留数之和，即 求 未经滤波器的均方误差 （2）对于非物理可实现情况 应用留数定理，有 　　可以看出，非物理可实现情况的最小均方误差小于物理可实现情况的均方误差。 已知： 。P个以前时刻的观测值 估计： 。当前，未来时刻的信号值。 估计准则：均方误差最小。 信号为什么是可以预测的？ ①信号内部存在关联性。 数据间关联越密切，预测愈准确；完全不关联，则无法预测。 周期信号关联性强，从一个周期可完全无误地预测出以后的信号。 2.4 维纳预测 白噪声：前后数据不相关，无法预测。 平稳信号：均值为常数，自相关函数只与时间间隔有关，说明信号内部是关联的，可以预测。但预测越远时刻的信号，误差越大，因为关联性越差。 ②系统具有惯性。 输入无关联信号，输出一个关联信号（非白色的信号）。表明系统是有惯性的。 因此，随机信号之所以能够预测，在于信号存在某些统计上的规律，预测正是利用这些规律，因而不能做到精确预测，使预测误差等于0，但可从统计意义上做到最优。这里使预测 具有有理谱密度 误差的均方值最小作为最优的标准。 预测滤波：考虑实际获得的信号是带噪声干扰的，这时预测和滤波紧密相连，成为带滤波的预测。 纯预测：不考虑噪声干扰的预测，或不带滤波的预测。 2.4.1维纳预测的计算 维纳滤波的最佳解为 维纳预测器，输出信号 ，预测误差 要使预测误差均方值为最小，需满足 非因果维纳预测器的最佳解为 因果维纳预测器的最佳解为 观测数据与期望输出的互相关函数和互功率谱密度为： 可见，维纳预测和维纳滤波器的求解方法是一致的。 2.4.2纯预测 假设 ，且 ，故 ，期望信号为 ，假定维纳预测器是因果的。 维纳预测器的最小均方误差为 因果纯预测器的最佳解为 应用帕塞伐尔定理： 纯预测器的最小均方误差为 取 可见，随着N增加， 也增加。预测距离越远，预测效果越差。 例2.4.1，已知 ， 其中 ， 求（1）最小均方误差下的 ；（2） 。 考虑 是因果系统 解：对 进行谱分解 求 的Z反变换 应用Z变换的性质，得： 最小均方误差： 它说明，N越大，误差越大。如果N＝0则没有误差。 又 ，将　　通过纯预测维纳滤波器，得 根据 的信号模型 此时，可把纯预测的维纳滤波器看作一个线性比例放大器。 当 当 当 可得 含义？ 　　由此可见， 的结果相当于认为 时刻， ，因而仅由 的惯性就能完全决定估计值 。此时 从统计意义上讲，当 时，白噪声信号 对　　　 无影响。 　　以上结论可推广，对于任何均值为零的 ，要估计 时，只需考虑 的惯性，即可认为 ，这样估计出来的结果将有最小均方误差。 2.4.3一步线性预测的时域解 表示一个信号的功率谱在单位圆上没有极点与信号均值等于零等价，因此对于功率谱在单位圆上没有极点的信号，要估计 时，可认为 ，即仅需要考虑 的惯性，这样估计出来的结果将有最小均方误差。 一步线性预测：假设 ，已知 ， 预测 。 　　终值定理 时域求解利用正交原理。 令 ，则 要使均方误差为最小值，要求 预测误差 其中 系统 ,输出信号 同维纳滤波器的推导过程一样，可以得到 代入 可得 由于预测器的输出 是输入信号的线性组合，可得 此式说明，误差信号与输入信号正交。 此式说明，预测误差与预测的信号正交。 预测误差的最小均方值 得联立方程组 写成矩阵形式 除了第一个方程外，其余都是齐次方程 与维纳-霍夫方程相比，不需要知道观测数据 与期望信号 的互相关函数。 这就是著名的Yule-Walker方程。 该方程组共P+1个方程，可确定 和 共P+1个未知数。 可用Levinson-Durbin 莱文森-杜宾 递推算法求得。