第4章 平面图形的几何性质详解.ppt

第4章 平面图形的几何性质 §4.1 静矩与形心 * §4.1 静矩与形心 §4.2 惯性矩与惯性积 §4.3 惯性矩的平行移轴公式 选择材料——与材料的机械性质有关 确定尺寸——与截面大小、形状有关 拉压：应力均布，仅需满足 ， 不考虑形状； 扭转：应力不均布，出现 ， 在面积A相同，但形状不同的情况下，应 力分布不同。 一、静矩 o y z A dA y z ? A ydA ? A zdA 图形对y轴的静矩 图形对z轴的静矩 微面积dA对z轴和y轴的一次矩。 静矩的单位为mm3或m3。 §4.1 静矩与形心 二、形心 平面图形的几何形状中心。 §4.1 静矩与形心 静矩：?0；?0；?0。 三、静矩与形心坐标的关系 若图形形心C已知，由静力学可知： 求静矩的另一公式： 讨论： 则 y、z轴称为形心轴。 y z A C 若已知 则可确定z轴、y轴通过截面形心。 §4.1 静矩与形心 四、组合图形的静矩与形心 组合图形:由若干简单图形组合而成的图形 。 组合图形对z轴和y轴的静矩等于各部分图形对该轴静矩的代数和，即 组合图形的形心公式： 例4.1 求图所示半径为R的半圆形对z轴和y轴的静矩及其形心坐标。 解：z轴是半圆形的对称轴 因此 §4.1 静矩与形心 如果是1/4圆，情况又如何？ 例4.2 计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。 §4.1 静矩与形心 解： §4.1 静矩与形心 §4.1 静矩与形心 例4.3 求如图所示槽形截面的形心位置。 解：该组合图形可以看成3个矩形的组合，也可看成是矩形ABDE减去矩形abde而组成，选取图示Oyz坐标系，由于z轴是图形的对称轴，故形心必在z轴上，即yc=0。 设矩形ABDE的面积为A1，其形心坐标为z1C ；矩形abde的面积为A2，其形心坐标为z2C，则 A1=120mm×160 mm=19200mm2， z1C =80mm A2= －80mm×120 mm=－9600mm2， z2C =60mm 于是由式可得槽形截面的形心坐标zC §4.1 静矩与形心 一、惯性矩 o y z A dA y z ? A y2dA ? A z2dA 图形对y轴的惯矩 图形对z轴的惯矩 §4.2 惯性矩与惯性积 微面积dA对z轴和y轴的二次矩。 惯性矩的的单位为mm4或m4。 讨论 （1）惯矩恒?0； 二、极惯性矩 o y z A dA y z 图形对o点的极惯矩 单位： 讨论 （1） §4.2 惯性矩与惯性积 o y z A dA y z y z z y 且 即 对o点极惯矩 = 对过o点同一平面内任意一 对相互垂直轴的惯矩之和 所以 只与原点o有关，即 （2） §4.2 惯性矩与惯性积 y z b h 例：4-4 矩形。求 解： z dz 同理 c §4.2 惯性矩与惯性积 2．圆形 3．三角形 §4.2 惯性矩与惯性积 三、惯性半径 将惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即 = = 或改写为 iy和iz分别称为图形对y轴和z轴的惯性半径。 §4.2 惯性矩与惯性积 四、惯性积 惯性积： = 惯性积Iyz与坐标轴有关，因为坐标的乘积yz可为正或负，所以惯性积Iyz的数值可为正或负，也可为零。 惯性积的单位为mm4或m4。 1、主惯性轴和主惯性矩 主惯性轴：若在坐标系的两个坐标轴中，有一个是图形的对称轴，则图形对这对坐标轴的惯性积必为零。这一对轴称为主惯性轴。 主惯性矩：图形对于主惯性轴的惯性矩。 2、形心主惯性轴和形心主惯性矩 形心主惯性轴：通过形心的主惯性轴。 形心主惯性矩：图形对于形心主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性平面：横截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面。 凡是两形心主惯性矩相等的几何图形，通过形心的所有轴均为形心主惯性轴，且形心主惯性矩均相等。 注意：对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴。 §4.2 惯性矩与惯性积 三、组合图形的惯性矩与惯性积 d D 根据定义： 整个图形对某一轴的惯矩（惯性积）等于各个分图形对同一轴的惯矩（惯性积）之和。 I II III y z §4.2 惯性矩与惯性积 例如: 则 I II III y z 同理 §4.2 惯性矩与惯性积 一、平行移轴公式 图形对形心轴yC和zC的惯性矩和惯性积为 = ， = ， = 由图可知 y=yC + b ， z=z C + a 图形对y轴的惯性矩为： = = = + + 故 = + a2A §4.3 平行移轴公式