2随机变量的分布详解.ppt

注：1、设 连续型随机变量商的分布 本节的解题步骤 三、协方差和相关系数的定义 1、协方差的性质 相关系数的性质 七 极限定理 一 随机变量的收敛性 二 大数定律与中心极限定理 思考题 Thank you 则 例 设 X , Y 是两个相互独立的且均服从正态分布 的随机变量 , 则求随机变量 的数学 期望 解 记 则 故 定义 设二维随机变量 则称它为 与 的协方差，记为 即 若 存在， （1） Pf: （2）（协方差的计算公式） Pf: （3） Pf: 若X ,Y 相互独立，则 （4） （5） 为常数 （6） Pf: 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 . 四、相关系数 为随机变量 X 和 Y 的相关系数 . 定义: 设D(X)0, D(Y)0, 称 在不致引起混淆时，记 为 . 1) 2) 的充要条件是 与 以概率1呈线 性关系。即 其中 为常数 定理1 设随机变量 和 的相关系数存在，则 说 明 相关系数 之间线性关系的一种度量. ，X 与Y 的线性关系越显著； ，X 与Y 的线性关系越不显著； 四个等价命题： 2） 3） 4） 1）相关系数 则称 与 不相关; 不相关： X 与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之 间没有任何关系。 所以，当X 和Y 独立时，Cov (X , Y)= 0. 故 但由 并不一定能推出X 和Y 独立. 独立： X 与Y 之间没有任何函数关系。 X，Y独立? =0?X，Y不相关。 注意独立与不相关并不是等价的. 当(X,Y)服从二维正态分布时，有 X与Y独立 X与Y不相关 若 存在，称它为 的 阶原点矩，简称 阶矩。 若 存在，称它为 的 阶中心矩。 阶混合矩。 若 存在，称它为 和 的 若 存在， 和 的 称它为 阶混合中心矩。 和 是随机变量， 设 五、 矩、协方差矩阵 协方差矩阵的定义 将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩 排成矩阵的形式: 称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵. 这是一个 对称矩阵 类似定义n维随机变量X=(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵. 为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵 称矩阵 都存在, i, j=1,2,…,n 若 也常记为DX或者Cov(X,X). 协方差矩阵的性质 对于任一n元实列向量 有 2）是一个非负定矩阵 1）是一个对称矩阵 3）设 为n元随机向量， 有 a)对于 定义 b) p (x1,x2, …,xn) 则称X服从n元正态分布. 其中B是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵. |B|是它的行列式， 表示B的逆矩阵， X和 是n维列向量， 表示X的转置. 设 =(X1,X2, …,Xn)是一个n维随机向量, 若它的概率密度为 六、下面给出n元正态分布的概率密度的定义. n元正态分布的几条重要性质 1. X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布 a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn均服从一维正态分布. 对一切不全为0的实数a1,a2,…,an， 2. 若 X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布， Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数， 则(Y1,Y2, …，Yk)也服从多元正态分布. 这一性质称为正态变 量的线性变换不变性. 3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 “X1,X2, …,Xn相互独立” 等价于 “X1,X2, …,Xn两两不相关” 或 对任意 不等式 成立， 七、两个重要的不等式 切比雪夫不等式. 对任意具有有限方差的随机变量X,都有 proof 对任意实数 证： 2) A.L.Cauchy－Schwarz不等式. 考虑函数 即 运用A.L.Cauchy－Schwarz不等式证明结论 相关系数的性质 二次方程 有一重根，即 八、特征函数 引进特征函数的目的在于有些问题用分布函数不好解决，比如计算随机变量的矩以及对立随机变量和的分布.使用特征函数就会特别方便，在极限理论的研究中也发挥了很大作用。 如以前我们讲过随机变量X＋Y的分布函数求法过程比较复杂，实际上经常碰到求X1+X2+X3+…+Xn 的密度函数，重复使用卷极公式，非常繁杂。 1. 复随机变量的定义 设 是定义在概率空间 上的实随机变量，则 称为复随机变量。 相互独立，就称复随机变量 1、特征函数的定