4力矩转动定律转动惯量详解.ppt

小　 结 1.刚体运动学知识 思考题P114:4-2、4-4 、4-5 、4-6 第四章 刚体转动 物理学教程 （第二版） 4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 * 问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动有影响吗？ 圆盘静止不动 圆盘绕圆心转动 力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响. P * O : 力臂 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 . 对转轴 Z 的力矩 一 力矩 O 讨论 1）若力 不在转动平面内，可把力分解为平行于和垂直于转轴方向的两个分量 2）合力矩等于各分力矩的矢量和 其中 对转轴的力矩为零，故力对转轴的力矩 3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 O 结论：刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零. 二 转动定律 O 转动定律 转动惯量 转动惯量物理意义：转动惯性的量度. 质量连续分布刚体的转动惯量 质量元: 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 . 转动定律 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何形状及转轴的位置. 注意 例 ：刚性三原子分子其质量分布如图所示，求绕转轴的转动惯量。 例 ：质量为m ，长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴和绕一端转轴的转动惯量。 ⑴ ⑵ r1 r2 r3 m1 m2 m3 转轴 解： 解: 设棒单位长质量: λ=m/l，则⑴按如图⑴所示建立一维坐标系,绕中心轴的转动惯量为： 则⑵按如图⑵所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量为 o X 图⑴ 图⑵ X o dx dm dm dx Z o R 例： 求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。 解: dm R o Z 例：求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆盘的转动惯量，轴与圆盘平面垂直并通过其圆心。 dr r 解:设圆盘单位面积上的质量为σ: 在圆盘上取半径为r，宽为 dr 的圆环，该圆环质量： 圆盘转动惯量为 Z d C Z/ 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的转动惯量加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘积。 平行轴定理： 竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？ 解：1） 分析受力 例1 如图, 有一半径为 R 质量为 的匀质圆盘, 可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动. 转轴与圆盘之间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一端固定在圆盘上, 另一端系质量为 m 的物体. 试求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度. m y m 2）选取坐标 注意：转动和平动的坐标取向要一致. m y m 3）列方程（用文字式） 牛顿第二定律（质点） 转动定律（刚体） 转动惯量 先文字计算求解，后代入数据求值. 约束条件 例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω0绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试问经过多长时间圆盘才停止转动? 解: 在圆盘上取面积微元, 面积元所受对转轴的摩擦力矩大小 r 刹车片 面积微元所受摩擦力矩 圆环所受摩擦力矩 圆盘所受摩擦力矩 圆盘角加速度 停止转动需时 r R 例3 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度. 解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得 m l o 式中 得 由角加速度的定义 代入初始条件积分 得 m l o C x y * 例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角 = 5o.