【主要内容】介绍几种基本的插值方法(如Lagrange插值分析.ppt

插值可以理解为，要根据一个用表格表示的函数，计算表中没有的函数值。 【引例2】 拟 合 * 【主要内容】 介绍几种基本的插值方法（如Lagrange插值、分段线性插值、三次样条插值等）和数据的最小二乘拟合方法。 【主要目的】了解Mathematica提供的插值函数和拟合函数的使用方法，通过实例学习如何用插值和拟合解决实际问题,注意两者的联系与区别。 第七讲 插值与拟合实验 【引例1】 插 值 插值在数学发展史上是个老问题。它最初来源于天体计算—由若干观测值计算任意时刻星球的位置。 插值在机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有广泛的应用。插值又是数值微分、数值积分、常微分方程数值解等数值计算的基础。 一、一维插值 知n+1个节点( xj , yj ) (j = 0, 1, ...,n), 其中xj 互不相同， 不妨设a=x0x1…xn=b，求任意插值点x*处的插值 y*. 1、基本原理: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 具体的构造一个(相对简单的)函数 y=f (x)，通过全部节点，即 f ( xj )=yj (j=0,1,…,n) 再用f (x)计算插值，即 y*=f (x*). 已知函数 f (x) 在n+1个点x0 , x1, …, xn处的函数值 为y0 ,y1, ,…,yn.求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn (xi)=y i , i=0,1,…,n. 则拉格朗日插值多项式公式为： 其中li(x)为n次多项式： （1）拉格朗日(Lagrange)插值法 2、插值方法： 称为Lagrange插值基函数。容易证明 两点一次(线性)插值多项式: 三点二次(抛物)插值多项式: 特别的： 用Lagrange插值多项式Ln(x)近似,虽然随着节点 个数的增加, Ln(x)次数n变大,多数情况下误差 会变小,但是n增加时, Ln(x)光滑性变坏,有时会 出现很大的振荡. 例1 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 程序1 Mathematic （2）分段线性插值 ? ? ? ? ? ? xj xj-1 xj+1 x0 xn x o y 例2 对例1中的函数和节点，画出 情形下的分段线性插值的图形，研究分段线性 插值的收敛性。 程序2 Mathematic 比分段线性插值更光滑。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y xi-1 xi a b 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分 段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一 个很好的例子。 （3）三次样条插值 定义 设在区间[a,b]上给定一组节点 上的函数值 ，函数 满足 1） 在每个小区间 上都是 次数不超过3的多项式； 2） 3） 在[a,b]上有连续的二阶导数。 则称 为三次样条插值函数。 三次样条插值问题的提法如下： 给定函数 在 个节点 处的函数值为 ，求一个三次样条 函数 ，使其满足： 例3 用三次样条插值选取11个基点计算插值. 程序3 Mathematic 3、用Mathematic做一维插值 Interpolation [date , InterpolationOrder-n] 实例1 在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为： 5，8，9，15，25，29，31，30， 22， 25，27，24。 试估计每隔1/10小时的温度值。 程序4 Mathematic 实例2 机翼加工问题 已知机翼上缘轮线数据如下： 0.00 3.99 7.03 9.69 12.16 14.63 y 190.00 171.00 152.00 133.00 114.00 95.00 x 16.34 17.10 16.15 11.97 8.10 5.32 0.00 y 76.00 57.00 38.00 19.00 9.50 4.74 0.00 x 用三次样条函数画出机翼曲线。 机翼上轮廓线 程序5 Mathematic 4、用Mathematic做二维网格节点数据的插值 Interpolation [date ] 实例3 海底地形图的绘制