测试系统中的信号分析(卷积)分析.ppt

卷积积分的几何图形表示 2.6.2 含有脉冲函数的卷积 设 h(t)=[?(t-T)+ ?(t+T)] 时域卷积定理 如果 则 频域卷积定理 如果 则 证明： 例：求余弦信号截断后的频谱 * * 卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与变换域分析，它是沟通时域－频域的一个桥梁。 在系统分析中，系统输入／输出和系统特性（系统脉冲响应函数h(t) ）的作用关系在时间域就体现为卷积积分的关系： x(t) h(t) y(t) 2.6 卷 积 用公式表示有 2.6.1 卷积的数学定义 或： 两个信号 卷积的几何解释: ①将h(τ)关于τ进行反褶（镜像）得到h(-τ) ； ②再平移t0得到 ； ③与 相乘得到 ； ④对τ进行积分得到 ，这就是 ； ⑤变化t0，就可以得到y(t) 先把两个信号的自变量变为τ，任意给定某个t0 卷积与相关 h(t) t 0 0 h(-?) ? (1)反褶 x(t) 0 t (2)平移 0 h(t0 -?) ? (3)相乘 0 h(t0 -?) x(?) 0 ? (4)积分 自变量t变? (1)反褶/镜像； (2)平移t0； (3)相乘； (4)积分得y(t0); 变化t0，得到y(t) x(?) ? h(t0 -?) 例、试计算两函数 及 的卷积（忽略t3以后的值，u(t)为单位阶跃函数，t 时为1， t 时为0)。 t X(t) 0 1 2 3 3 t h(t) 0 1 2 3 2 解：两函数的波形如下图所示，两函数的卷积可由表达式计算。 1）反褶。反褶x(τ)得到x(-τ)； τ X(-τ) -2 -1 0 3 2）平移（平移过程中，将反褶后的x(-τ)与h(τ)相乘积分 )。 3）相乘。 4）积分y(t0);变化t0，得到y(t) 。 （得到两信号波形相交部分的面积随时间变换的函数关系） t0：在这区段内两函数没有重叠部分，因此： t h(t) -2 -1 0 1 2 3 2 3 t0左移 t0右移 根据函数x(t)及h(t)的波形特点，此卷积可分为五个时域区段计算： ：在这区段内反折函数 向右平移逐渐与h(t)重叠。当t=2时达到最大重叠面积。积分下限可从h(τ)的起始值（τ=0 ）开始，直到所求的时刻t。在这段时间中的卷积为： τ -2 -1 0 1 2 3 x(t-τ)h(τ) 2 3 （得到两信号波形相交部分的面积随时间变换的函数关系） ：随着计算时间点向右平移，两波形完全重叠，当t=3时开始分离。积分下限可从τ=t-2开始，直到所求的时刻t。在这段时间中的卷积为： τ 2 0 1 2 3 x(t-τ)h(τ) 3 ：随着计算时间点向右平移，两波形逐渐分离，当t=5时完全不重叠。积分下限可从τ=t-2开始。在这段时间中的卷积为： τ 2 0 1 2 3 x(t-τ)h(τ) 3 ：两函数无重叠部分，因此： t y(t) 0 1 2 3 4 5 2 t X(t) 0 1 2 3 3 t h(t) 0 1 2 3 2 卷积 由图可见，卷积出现非零值的时间长度为两个信号长度之和。如果h(t)为系统特性，x(t)为加于系统的激励，y(t)就是系统对激励的输出响应。由图可看出，当t2之后激励已消失，但系统仍然在一段时间内有输出。 卷积与相关 函数x(t)与脉冲函数的卷积结果，就是发生在脉冲函数的坐标位置上简单地将x(t)重新构图。 卷积为(见p67） a 0 图示 T h(t) 0 t x(t) t T h(t)*x(t) 0 t -T -T