插值拟合与数值微积分建模案例分析.ppt

插值、拟合与数值微积分——建模案例 * 1、估计水塔的水流量 2、录像机计数器的用途 3、汽车刹车距离 问 题 估计水塔的水流量 某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量） 和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。 表1给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。 表1 水塔中水位原始数据 分析 日用水量 用水速度 每个时刻水塔中水的体积 每个时刻水塔中水的体积？ 居民的用水速的？ 日用水量？ 思考 数值微分 模型假设 影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求； 水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小； 水泵充水速度恒定，且远大于水塔的水流速度； 水塔的水流量与水泵状态独立； 水流量曲线是一条连续光滑的曲线； 表1数据是准确的； 表2 水塔中水的体积 （其中d为水塔中水的高度，r为底面半径） 模型建立与求解 图1 水塔中水体积的散点图 图2 水塔中水流速度的散点图 图3 预测水塔中未知的流速 图4 样条插值得到的水流速度曲线 结果 模型检验 返回 模型稳定性分析 运用数值求积公式可得 问 题 在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？ 要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。 思考 计数器读数是均匀增长的吗？ 录像机计数器的用途 经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。 录像机计数器的工作原理 主动轮 压轮 0000 左轮盘 右轮盘 磁头 计数器 录像带 录像带运动方向 录像带运动 右轮盘半径增大; 问题分析 观察 计数器读数增长越来越慢！ 计数器读数增长变慢; 右轮转速(角速度)不是常数; 录像带运动速度(线速度)是常数. 录像带的运动速度是常数 v ； 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； 空右轮盘半径记作 r ； 时间 t=0 时读数 n=0 . 建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数） 模型假设 模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以 请解释? 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录像带厚度 乘以转过的长度，即 3. 考察t到t+dt录像带在 右轮盘缠绕的长度，有 模型建立 思 考 3种建模方法得到同一结果 模型中有待定参数 一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。 思 考 参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析 将模型改记作 只需估计 a,b 理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可! 实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据： t 0 20 40 60 80 n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160 184 n 4004 4545 5051 5525 6061 用最小二乘法可得 模 型 检 验 应该另外测试一批数据检验模型： 模 型 应 用 回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分， 剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。 返回 汽车刹车距离 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： 背景与问题 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ： 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样? 并建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。 问题分析 常识：刹车距离与车速有关 10英里/小时(?16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(? 9米) 车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“