6第六讲(实心圆杆扭转)分析.ppt

材料力学教案 三峡大学 工程力学系 等直圆杆扭转应力 上一讲我们学到： （1）认识了扭转基本变形。 （2）薄壁圆筒扭转变形特征、内力、应力、变形的计算。 第六讲 等直圆杆扭转应力和强度问题 1)轴向线仍为直线，且长度不变. 2)横截面仍为平面且与轴线垂直。 3)径向线保持为直线，只是绕轴线旋转。 平面假设: 变形前为平面的横截面 ， 变形后仍保持为平面。 扭转变形特征 扭转应力推导--扭转变形特征 横截面上应力分布规律 与薄壁圆筒相似，在小变形条件下，等直圆杆在扭转时横截面上也只有切应力。 扭转应力推导—应力分布规律 横截面上一点处的切应变 即 b b T T O1 O2 dj G G D D a a dx A E g gr r E A O1 D dj D G G O2 d/2 dx gr g r 扭转应力推导—应变特征 式中 ——相对扭转角j 沿杆长的变化率，常用j 来表示，对于给定的横截面为常量。 可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应变gr 均相同；gr 与r 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。 b b T T O1 O2 dj G G D D a a dx A E g gr r 横截面上一点处的切应变 扭转应力推导--扭转应变特征 物理方面(本构关系) 由剪切胡克定律 t = Gg 知 可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力tr 均相同，其值 与r 成正比，其方向垂直于半径。 扭转应力推导—本构关系 静力学方面 其中 称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。 从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式 以 代入上式得： 扭转应力推导—静力方程 式中Wp称为扭转截面系数，其单位为 m3。 横截面周边上各点处(r = r)的最大切应力为 横截面上应力分布规律 扭转应力推导—计算公式 实心圆截面： 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp 圆截面扭转参数 注意：对于空心圆截面， 。 空心圆截面： 圆截面扭转参数 以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体。 单元体· 切应力互等定理 单元体两个相互垂直平面上 的剪应力同时存在，且大小 相等，都指向（或背离）该 两平面的交线。 x y dy dz a b d z dx c 单元体及切应力互等 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图)上的应力。 斜截面上的应力 扭转斜截面上的应力 分离体上作用力的平衡方程为 利用t =t ，经整理得 扭转斜截面上的应力 由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上切应力的绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大； 扭转斜截面上的应力 强度条件 此处[t]为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。 第三章 扭转 扭转强度条件 例题 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA =22 kN·m，MB =36 kN·m，MC =14 kN·m，材料的许用切应力[t ]=80 MPa。试校核该轴的强度。 第三章 扭转 BC段内 AB段内 解：1. 绘扭矩图 2. 求每段轴的横截面上的最大切应力 第三章 扭转