初等模型数学建模教案详解.ppt

x y yo y1 y2 0 x1 x2 xo p1 p2 . . 甲的无差别曲线 分析与建模 如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的， M N 将所有与p1, p2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN, 线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度， N1 M1 p3(x3,y3) . 比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。 p1 . p2 . c1? y 0 x f(x,y)=c1 无差别曲线族的性质： 单调减(x增加, y减小) 下凸(凸向原点) 互不相交 在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的? y换取较少的? x; 在p2点占有y少、x多，就要以较多的? x换取较少的? y。 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1~满意度 （f ~等满意度曲线） x y O g(x,y)=c2 c2? 乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同） 双方的交换路径 x y yo O xo f=c1 O‘ x’ y’ g=c2 乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系x’O’y’, 且反向） 甲的无差别曲线族 f=c1 A B p P’ 双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上 因为在AB外的任一点p’, (双方)满意度低于AB上的点p 两族曲线切点连线记作AB A B p 交换方案的进一步确定 交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y) 0?x?x0, 0?y?y0矩形内任一点 交换路径AB 双方的无差别曲线族 等价交换原则 X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为 C D (x0,0), (0,y0) 两点的连线CD AB与CD的交点p 设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 xo . . x 2.7 核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。 背景 以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。 假定双方采取如下同样的核威慑战略： 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地； 乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。 摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。 模型假设 图的模型 y=f(x)~甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数 x=g(y)~乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数 当 x=0时 y=y0，y0~乙方的威慑值 x y y0 0 y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数 x1 x0 y1 P(xm,ym) x=g(y) x y 0 y0 y=f(x) y=f(x) 乙安全区 甲安全区 双方 安全区 P~平衡点(双方最少导弹数) 乙安全线 精细模型 乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。 sx个基地未摧毁，y–x个基地未攻击。 xy 甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个, y0=sx+y–x x=y y0=sy 乙的x–y个被攻击2次，s2(x–y)个未摧毁； y –(x–y)=2y– x个被攻击1次，s(2y– x )个未摧毁 y0= s2(x–y)+ s(2y– x ) x=2y y0=s2y yx2y y= y0+(1-s)x y=y0/s y=y0/s2 a~交换比(甲乙导弹数量比) x=a y, 精细模型 x=y, y=y0/s x=2y, y=y0/s2 y0~威慑值 s~残存率 y=f(x) y是一条上凸的曲线 y0变大，曲线上移、变陡 s变大，y减小，曲线变平 a变大，y增加，曲线变陡 x y 0 y0 xy, y= y0+(1-s)x x=y x=2y yx2y, 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标 乙方威慑值 y0变大 x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) 甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。 （其它因素不变） 乙安全线 y=f(x)上移 模型解释 平衡点P?P′ 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架 乙安全线y=f(