材料力学 平面图形的几何性质分析.ppt

在结构设计中，计算构件在外力作用下的应力和变形时经常会遇到一些只与构件横截面的形状、尺寸有关的几何量。 在计算拉伸（压缩）杆件时用到的横截面面积A，计算受扭杆件时用到的横截面极惯性矩IP和抗扭截面模量Wt。它们都是只与横截面平面图形的形状、尺寸有关的几何量。统称为平面图形的几何性质。 §Ⅰ.2 二次轴距—极惯性矩 惯性矩惯性积 §Ⅰ.3 组合截面的二次轴矩 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 §Ⅰ.4 截面的主惯性轴和主惯性矩 惯性矩和惯性积的转轴公式 * 附录I 平面图形的几何性质 由上面公式可以看出，横截面上的极惯性矩IP和抗扭截面模量Wt直接影响横截面上的切应力τ和τmax以及单位长度相对扭转角?的数值，实际上也是就是从强度和刚度两个方面影响受扭转圆轴的承载能力，因此要研究和计算根据的应力、变形或承载能力，就必须掌握构件横截面平面图形几何量（如IP、Wt）的计算。 工程实践和力学理论都已证明构件横截面平面图形的几何性质是影响构件承载能力的重要因素。例如在圆轴扭转计算中我们已知 研究平面图形几何性质的另一个重要意义在于掌握平面图形几何性质的变化规律后能够主动地为各种构件选择合理的截面形状和尺寸，使构件的各部分材料能够比较充分地发挥作用。 具体的说在采用相同材料用量的情况下,设计出横截面平面图形能到得最大的或最有利的有关几何量。 1.静矩 C x y dA xC x yC y O §Ⅰ.1静矩和形心 2.形心 3.形心与静矩的关系 图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心； 某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零。 例1 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。 O C r x y dA yC y dy 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴， 在距x任意高度y处取一个与x轴平 行的窄条， 所以 4、组合图形的形心与静矩（一次轴距） （1）组合图形的静矩 （2）组合图形的形心 解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则 例2 求图示图形的形心。 150 y C x O x1 y1 200 10 yC 300 I II III 10 由于对称知： xC=0 1.极惯性矩： 2.惯性矩： 为图形对一点的极惯性矩； x y dA x y r O 3.惯性积： 为图形对x、y一对正交轴的惯性积； 分别为图形对x、y轴的惯性矩； 4.①惯性矩与极惯性矩的关系： 平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。 解：平行x轴取一窄长条， 其面积为dA=bdy，则 ②惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4； ③若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零； ④惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩 ⑤如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为平面体对x、y、原点的转动惯量。 例3 求图示矩形对通过其形心且与边 平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。 dy b/2 b/2 x y y h/2 h/2 C dA 又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。 同理可得 由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy 注意到It=Ix+Iy，得到 例4 求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩Ip。 d C x y dr r 解：首先求对圆心的极惯性矩。 在离圆心O为r处作宽度为dr的薄圆环，其面积dA=2prdr，则 一、平行移轴公式 1.公式推导 2.平行移轴公式 ②b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。 3.注意： ①xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小； 二、组合图形的惯性矩： O x y C dA xC yC a b y x xC yC 已知： 、 、 ，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy O x y C dA xC yC a b y x xC yC 已知： 、 、 ，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy 例5 已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x