1995 线调频小波变换——物理因素(译文).doc

线性调频小波变换：物理因素 Steve Mann 和 Simon Haykin 我们考虑对于任意待分析信号的可参数化的线性调频函数族内积形式的多维参数空间。采用平方调频函数（我们简称为q-调频），并引出可兼顾时间频率域和时间尺度域作为二维子空间的参数空间。其包含了一个“时间-频率-尺度体”，因而囊括了短时傅里叶变换（作为在时间频率轴上的投影）和小波变换（时间尺度轴上的投影）。 另外，关于频率和尺度，变换空间内有两个额外的坐标轴：时间域切变（由和q-调频函数的卷积获得）和频率域切变（由和q-调频函数的乘积获得）。信号在该多维空间内可以通过一个被我们称为“q-调频小波变换”，或称“线性调频小波变换”的新方法捕获。 这里提出的线性调频小波是小波的广义形式，两者通过时频平面上的二维仿射变换（平移、伸缩、旋转和剪切）联系起来，与之形成对照的是小波变换，通过时间域的一维仿射变换（平移、伸缩）相联系。 1. 引言 大部分传统的信号处理理论都是基于正弦波的，借助于现代计算机和FFT算法的优势，频域信号处理大行其道。不过，近些年的研究发现了频域方法的局限性。尽管傅里叶变换可以完美重构多种信号，但还不足以对缺乏全局稳定性的信号提供有意义的解释。比如，考虑由一段音乐构成的时间序列。对其功率谱估计可以告诉我们存在哪些音符（每个频点附近能量的强弱），但不能获知这些音符在何时出现。 最近的大量研究围绕信号的时频分析展开，我们可以借此观察功率谱随时间的变化。其中一类方法称作短时傅里叶变换（STFT），已经被广泛应用于语音、音乐和其他非平稳信号的分析中。 假设我们要进行STFT分析，但不能确定时窗的大小。因而我们对信号s(t)做STFT时先采用相对较短的时窗，然后逐渐加宽，并计算不同时窗宽度值下相应的STFT。将这些值一层层堆叠起来形成一个对应于信号s的数据体，是一个关于时间、频率和时窗宽度的函数（图1(a)）。我们将其称为“时间-频率-尺度（TFS）变换”。 另一个时频表征方法（更准确地说应该称作时间-尺度表征）是著名的小波变换。小波变换可由待分析信号和一个基函数的一族平移伸缩因子的内积获得。该基函数称作母小波。一个小波族中的某个成员通过某一特定的作用于母小波时间轴上的一维仿射坐标变换来获得；这一几何变换由两个参数来控制（平移量和伸缩量）。连续小波变换则是由信号和很多这些小波内积得到的。连续小波变换，通过适当的时窗长度/母小波的选择，其实就是前文中TFS数据体中的时间-尺度切片（图1(a)）。 我们发现，即便不从计算效率和数据存储角度看，时间-频率-尺度空间在理论层面仍不失为一种有效的概念。尤其是，当我们只需要TFS数据体的绝对值的话，我们可以根据Wigner分布，利用适当的坐标变换和均匀平滑，从中提取这些信息。通过对Wigner分布适当的平滑可以实现时间-频率（TF）平面（时频谱图）到时间-尺度（TS）平面（尺度谱图）的连续变换。 现在假设将信号s(t)乘上一个线性调频（FM）信号，然后计算STFT。如果连续地改变变频的速率c，并重复若干次，依次堆叠这些结果，就能得到一个不同的三维数据体（图1(b)）。此时，我们得到的是一个关于时间、频率和调频速率的函数。 当然我们的选择并不限于这两类参数空间。但为引出下文，我们证明一个四维参数“时间-频率-尺度-调频速率”（TFSC）空间的有效性。 图1 STFT不同长度时窗构造的数据体。（a）无时窗长度连续伸缩变化的无穷多STFT构成一个“时间-频率-尺度”（TFS）变换。如果是一个合适的母小波，那最底部的平面的时间尺度面就是一个连续小波变换。这里我们仅仅给出了数据体的第一卦限。也注意到平面尚未定义，其对应于无穷大尺度。（b）具有变化的调频速率的切变STFT，时频面的剪切通过信号与一个调频速率为c的线性调频信号相乘实现。如果我们将这无穷多时频面堆叠起来，让c连续变化，那么就可以得到一个“时间-频率-调频速率”（TFC）变换。 1.1 历史记录 1946年，Gabor（后因发明全息影像而荣获诺贝尔奖）在他的那篇有关信息论的原创性论文中提供了关于一维Gauss窗STFT的一种新的解释角度，并检验了二维镶嵌的时频平面。尽管Gabor的工作不是很严密（并且，实际上，他的表征方法后来被证实是不稳定的），但他所提出的时频镶嵌的概念却是贡献巨大的。Gabor将他的镶嵌元素称为logons。 大约在1956年，Siebert开始用公式表达雷达监测中规律，其中就有很多有关时频的特别有用的想法。他的很多见解来自于Woodward的不确定函数，又被称为雷达模糊函数，Fourier-Wigner变换。Siebert还考虑了脉冲压缩雷达的调频函数，并对此做了详细研究，观测到时间域调频引起了时频面上的切变效应（或者换句话说，时频面上的二维Fo