2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析.doc

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） 当时，与等价的无穷小量是（ ） . 设函数在处连续，下列命题错误的是： .若存在，则 若存在，则 .若存在，则存在 若存在，则存在 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（ ） . 设函数连续，则二次积分等于（ ） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ） 10 20 30 40 曲线渐近线的条数为（ ） 0 1 2 3 （7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 （A） B （C） D （8）设矩阵，则A与B（ ） （A）合同，且相似 B 合同，但不相似 C 不合同，但相似 D 既不合同，也不相似 9 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 10 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 （A） B C D 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）. （12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则________. （14）微分方程满足的特解为__________. （15）设距阵则的秩为_______. 16 在区间 0,1 中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分） 设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分） 设二元函数 计算二重积分其中 （19）（本题满分11分） 设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 （20）（本题满分10分） 将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间. （22）（本题满分11分） 设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量.记，其中E为3阶单位矩阵. （Ⅰ）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. （23）（本题满分11分） 设二维随机变量的概率密度为 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. （24）（本题满分11分） 设总体的概率密度为 . 其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值. （Ⅰ）求参数的矩估计量； （Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由. 2007年考研数学（三）真题 一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） 当时，与等价的无穷小量是（B） . 设函数在处连续，下列命题错误的是： D .若存在，则 若存在，则 .若存在，则存在 若存在，则存在 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（C ） . 设函数连续，则二次积分等于（B） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D） 10 20 30 40 曲线渐近线的条数为（D） 0 1 2 3 （7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 A （A） B C D （8）设矩阵，则A与B（B） （A）合同，且相似 B 合同，但不相似 C 不合同，但相似 D 既不合同，也不相似 9 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 C 10 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 A （A） B C D 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）. （12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则. （14）微分方程满足的特解为. （15）设距阵则的秩为＿＿1＿＿＿. 16 在区间 0,1 中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为＿＿. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分） 设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】： （18）（本题满分11分） 设二元