2007级数学分析第2学期第2次测验解答 2008-4-6.doc

工科数学分析测验 2008.4 （参考解答） 一、判断题（每题6分，共12分） 1 设为瑕积分，若收敛，则必收敛 说明：判断正确得3分 2 设是正数列，若，则必收敛 说明：判断正确得3分，举出的反例不规范且未加验证加1分 二、填空题（每题4分，共16分） 1(电、软院) 二阶齐次欧拉方程的通解是 1＊(管院) 级数之和是 2 设，则 ， 说明：每空2分 3 瑕积分 4 函数列在上的极限函数，且在上 不一致 收敛于（填“一致”或“不一致”） 说明：每空2分，但若前一空的极限函数填错则全题无分 三、选择题（每题3分，共12分） 1 下列断语中的正确断语是【 D 】 ① 设在上单调，无穷积分收敛，则必有； ② 设在上无界，则无穷积分必发散； ③ 设在上恒为正值且存在，无穷积分收敛，则必收敛. A ①、②和③； B ①和②； C ②和③； D ③和① 2 设正项级数发散，记如下，则结论是【 D 】 ， ， A 、和必都发散； B 必发散，和都收敛； C 和必都发散，收敛； D 以上结论都不正确 3 设级数收敛，则下列级数中必定收敛的是【 C 】 A ； B ； C ； D 4 考虑下列断语，则结论是【 B 】 ① 若对，都有,，则必有，； ② 若,，而收敛，则必有， A ①正确，②不正确； B ①不正确，②正确； C ①和②都正确； D ①和②都不正确 四、（12分）判别广义积分的敛散性 解 记 2分 对，为可能的瑕点，因 故当即时收敛，当时发散； 5分 对，因 故当时收敛，当时发散. 综上所述，原积分当时收敛；当和时发散. 5分 五、（各题得分依次为6分、8分、10分，共24分）判别下列级数的敛散性 1 解 用根值法. 因 故级数发散. 说明：用根值法求上极限得2分，上极限计算错误但结论对加1分 2 解 当时，因不存在，故级数发散； 1分 当时，因 由收敛可知也收敛，故原级数绝对收敛； 2分 当时，因交错级数收敛(Liebniz判别法)，而数列在充分大后单调递增，且有，由Abel法可知级数收敛. 3分 又时，因 故发散，原级数条件收敛. 综上所述，原级数在条件收敛；在时绝对收敛. 2分 3 解 对级数，因，有 故级数部分和有界. 3分 对数列，若令，有 故单调递减，又 由Dirichlet法可知原级数收敛. 3分 又 2分 而由 可知发散；仍由Dirichlet法可知收敛，故原级数为条件收敛. 2分 说明：只叙述而未完整验证级数部分和有界条件，或只叙述而未完整验证数列单调性条件两者之一的扣2分；两者均未完整验证条件的合计扣4分 六、（14分）设，证明 （1）的定义域为； （2）； （3）在上有连续的导数 证明 （1）用根值法. 因 故当时级数收敛；时级数发散；当时级数为也收敛，故级数的收敛域（即的定义域）为. 3分 （2） 因对有 而级数收敛，由M－判别法可知原函数级数在上一致收敛. 又，，由连续性定理可知.