2010硕士研究生入学考试数学三真题和解答新(上传).doc

2010硕士研究生入学考试数学三真题和解析 一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。，则等于 （A）））） 从而由题设可得，即，故应选（C）。 2. 设,是一阶线性非齐次微分方程的两个特解。 , 使是该方程的解,是对应的齐次方程的解, 则 （A） B C D 【答案】（A） 【详解】因为，的两个特解，所以 （1） 由于是该方程的解，即 将（1）代入上式可得： （2） 由于 是对应的齐次方程的解 则，即 将（1）代入上式可得： （3） 由（2）、（3）可得。故应选（A）。 3．设函数具有二阶导数，且。若是的极值，则在取极大值的一个充分条件是 （A B C D 【答案】 B 【详解】令，则 ， 是的极值知。于是有 ， 由于， ， 。 B 4．设，则当充分大时有 A B C D 【答案】 C 【详解】因为 ， ， 由此可知当充分大时，，故应选（C）。 5． 设向量组可由向量组线性表示， A 若向量组线性无关， B 若向量组线性相关， C 若向量组线性无关， D 若向量组线性相关， 【答案】 A 【详解】因向量组能由向量组线性表示，所以，即 若向量组线性无关，则，所以， A 。 6为4阶对称矩阵，若的秩为3，相似于 A B C D 【答案】 D 【详解】由于，所以，由于的秩为3，所以不可逆，从而，所以是矩阵的特征值。 假设是矩阵的特征值，则，则只能是或。 由于是实对称矩阵，且的秩为3，所以其全部特征值为，因此应选（D） 7． 设随机变量的分布函数，则 A 0 B 1 C D 【答案】 C 【详解】由分布函数的性质可知： 故应选（C） 8． 设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度，为概率密度，则应满足 A B C D 【答案】 A 【详解】由已知可得：， 由概率密度的性质可知： 所以 因此应选（Ａ） 二、填空题（9-14，4分，24分，。 9．设可导函数由方程确定，则。时，再两边对求导或两边微分。 【详解】法一：由，令得 等式两端对求导得 将，代入上式得： 法二：由，令得 等式两端对微分得 将，代入上式得：，从而 10．设位于曲线下方， ， 绕轴旋转一周所得空间区域的体积为。 【答案】 【详解】 11．设某商品的收益函数为，收益弹性为， 为价格， ， 【答案】 【详解】由弹性的定义知，收益弹性为，由题设可得 ，且 分离变量可得，两端积分得 从而方程通解为： 由可得。从而方程的特解为 由此可得收益函数为 。 12．若曲线有拐点， 。 【答案】 【详解】在整个实数区间上可导， ， 因是曲线的拐点，有即。 在曲线上， ，得。为3阶矩阵， 则 【答案】3 【详解】由于 。因此应填 3。 14．设是来自总体的简单随机样本。记统计量，则。 【答案】 【详解】根据简单随机变量样本的性质，相互独立且与总体同分布，即 ，于是，， 因此。 三、解答题（1523小题，94分，10分 求极限 【详解】 16． 本题满分10分 计算二重积分，其中由曲线与直线及围成。 【详解】显然D关于轴对称 ， 其中 ， 由于被积函数是关于的奇函数，是关于的偶函数，所以 17． 本题满分10分 求函数在约束条件下的最大值和最小值。 ， 解方程组 （1） 当时，从方程组（1）可得此时解得 和 ； 当时，从方程组（1）可得此时解得 和 ； 综上，可得的如下六个驻点 、 、 、 、 、 代入可得： 、 、 、 、 从而所求最大值为， 。 18． 本题满分10分 1 比较与的大小， 2 记求极限。 【详解】 1 ，由于时，，所以，从而 从而由积分的保号性定理可得 2 由 1 可知：，而 又因为，从而由夹逼定理可得：。 19． 本题满分10分 设函数在闭区间上连续， 内存在二阶导数， I 证明存在， ； II 证明存在， 。 【证明】 I 令，因在闭区间上连续， 在闭区间上连续，在开区间内可导，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点， ，即 又，所以。命题（I）得证。 Ⅱ 因， 即 又函数在闭区间上连续， 介于在上的最大值与最小值之间， ， 因此在区间，， ，。 由在闭区间上连续， 内存在二阶导数， 在上连续， 可导，用罗尔中值定理， ， 。 20． 本题满分11分 设，已知线性方程组存在两个不同的解。 1 ； 2 求方程组的通解。 1 由于线性方程组存在两个不同的解，所以该方程组有无穷多解，从而。 又 从而，解得：。 2 当时 所以方程组的同解方程组为，从而原方程通解为： 为任意常数）。 21． 本题