2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析.doc

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学试题一、选择题18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线渐近线的条数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。 （ii）渐近线分为水平渐近线（，为常数）、垂直渐近线（）和斜渐近线（，为常数）。 （iii）注意：如果 （1）不存在； （2），但不存在，可断定不存在斜渐近线。 在本题中，函数的间断点只有. 由于，故是垂直渐近线. （而，故不是渐近线）. 又，故是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2)设函数，其中为正整数，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【详解一】本题涉及到的主要知识点： . 在本题中，按定义 .故选A. 【详解二】本题涉及到的主要知识点： . 在本题中，用乘积求导公式.含因子项在为0，故只留下一项.于是 故选（A）. (3)设函数连续，则二次积分 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【详解】本题涉及到的主要知识点： 在本题中，这是把极坐标变换下的累次积分转换为直角坐标系的累次积分. ， 的极坐标表示：，， ，， 现转换成的直角坐标表示，因， 区域由，及围成，因此 .故选（B）. (4)已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【详解】本题涉及到的主要知识点： 级数：当时收敛；当时发散. 在本题中，由绝对收敛收敛即，其中 又条件收敛，即收敛，发散，即 综上，.故选（D）. (5)设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【详解】本题涉及到的主要知识点： 个维向量相关 在本题中，显然 ， 所以必线性相关.故选（C）. (6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.若，，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【详解】本题涉及到的主要知识点： 设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵. 在本题中，由于经列变换为，有 ， 那么 故选B. (7)设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0.1） ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【详解】本题涉及到的主要知识点： 设是平面上的有界区域，其面积为.若二维随机变量具有概率密度 则称在上服从均匀分布. 方法一：由条件知在区域上服从二维均匀分布，要计算相应概率只需利用面积之比，易求得 （圆的面积除以正方形的面积） 故选D. 方法二：由条件知的联合概率密度 从而. 故选D. (8)设为来自总体的简单随机样本，则统计量的分布为 ( ) (A) N（0,1） (B) t(1) (C) (D) 【答案】B 【详解】本题涉及到的主要知识点： 设随机变量，，且与独立，则随机变量所服从的分布称为自由度为的分布，记为. 在本题中，因为，所以，， ，，. 又相互独立，所以与也相互独立，于是 ，即. 故选B. 二、填空题914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 【答案】 【详解】本题涉及到的主要知识点： 或 在本题中，用求型极限的方法.由于 ， 而， 因此 (10)设函数， ，则 【答案】 【详解】不必求出的表达式. 注意，， 于是由复合函数求导法得 (11)设连续函数满足则 【答案】 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i）如果，就说是比高阶的无穷小，记作. （ii）全微分存在的必要条件 如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，且函数在点的全微分为. 在本题中， 由于 由连续性得.已知条件可改写成 ， 由此可知在点处可微，且 (12)由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为