高中数学知识点总结_三角函数公式大全解读.docVIP

要点重温之三角函数的图象、性质 1．研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式。[注意]：函数y=|Asin(ωx+φ)|的周期是函数y=Asin(ωx+φ)周期的一半。 [举例]函数在时有最大值，则的一个值是, A、 B、 C、 D、 解析：原函数可变为：，它在时有最大值，即=2k+ =（k-1）+，k∈Z，选A。（万不可分别去研究和的最大值）。 [巩固] ①函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是 ； ②函数y=tanx―cotx的周期为 ；③函数y=|+sim|的周期为 。 2．在解决函数y=Asin(ωx+φ)的相关问题时，一般对ωx+φ作“整体化”处理。如：用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，应取ωx+φ=0、、、、2等，而不是取x等于它们；求函数y=Asin(ωx+φ)的取值范围时，应由x的范围确定ωx+φ的范围，再观察三角函数的图象（或单位圆上的三角函数线），注意：只需作出y=sin(把ωx+φ视为一个整体，即)的草图，而无需画y=Asin(ωx+φ)的图象；求函数y=Asin(ωx+φ)（ω0）的单调区间时，也是视ωx+φ为一个整体，先指出ωx+φ的范围，再求x的范围；研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象对称性时，则分别令ωx+φ=k+和ωx+φ=k（k∈Z）,从而得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线对称，关于点（，0）对称（k∈Z），（正、余弦函数图象的对称轴平行于Y轴且过函数图象的最高点或最低点，而对称中心是图象与“平衡轴”的交点）;对函数y=Acos(ωx+φ)也作完全类似的处理。 [举例1]画出函数在[0，]内的图象并指出其有无对称轴、对称中心。 解析：作函数的图象不是先作函数的图象，再由它伸宿、平移得到，而是直接描点作图。但不是在[0，]内取=0、、、、这五点，而是视为一个角，∈[，]，取=、、、、2、六个点，具体列表如下： 2 0 1 0 -1 0 描点、作图略。不难看出直线、都不是函数的对称轴，点（，0）、（，0）也都不是函数图象的对称中心，因为定义域不关于它们对称，所以无对称轴、对称中心。 [举例2] 已知函数，（1）指出函数的对称轴、对称中心； （2）指出函数的单调递增区间；（3）函数在上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值时的x的值。 解析：-，（1）对称轴：由=+得，； 对称中心：由=得，∴函数图象的对称中心为（，-）。（2）由 ∈[2- ，2+]得∈[，]，， ∴[，]，。（3）将视为一个角，∵ ∴∈，画函数的草图，观察∈时函数值的范围为[-1，]，当且仅当=时取得最小值-1，=时取得最大值；即=时原函数最小值-2-，=时原函数最大值1-。 [巩固] [巩固]有以下四个命题：①函数f(x)=sin(－2x)的一个增区间是[，]；②若函数f(x)=sin(x+)为奇函数，则为的整数倍；③对于函数f(x)=tg(2x+)，若f(x1)=f(x2)，则x1－x2必是的整数倍；④函数y=2sin(2x+)的图像关于点（，0）对称。 其中正确的命题是 （填上正确命题的序号） [迁移] 函数f(x)=2sin2x+sin2x-1 （ 0） 若对任意x∈R恒有f(x1)≤f(x)≤f(x2),求|x1-x2|的最小值； 若对任意x∈R恒f(x)≤f(1)，试判断f(x+1)的奇偶性； 若f(x)在[0,]上是单调函数,求整数的值； 3．已知函数y=Asin(ωx+φ)+B（A0，ω0）的图象求表达式，一般先根据函数的最大值M、最小值m（最高、最低点的纵坐标），确定A、B（A+B=M,-A+B= m）；根据相邻的最大、最小值点间的距离d（最高、最低点的横坐标之差的绝对值）确定ω()，最后用最高（或最低）点的坐标代入表达式确定φ。 [举例] 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,0φπ)的两个相邻最值点为( ,2), (, －2),则这个函数的解析式为y =____________. 解析：A=2，相邻最值点相距半个周期，即，∴T=πω=2， 则函数解析式为，点( ,2)在函数图象上，∴2=2sin(+φ) +φ=2+得φ=2+，∴函数的解析式为。 [巩固] 函数y=Asin(ωx+φ)(ω0,|φ|)的部分图象如右， 则函数表达式为： A．y=－4sin(x+)，B．y=4sin(x－)， C．y=－4sin(x－)，D．y=4sin(x+) [迁移]如图是一个半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面 2米，已知水轮每分钟转动四圈，水轮上的点P相对于水面