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5.1 系统稳定性的初步概念 5.1.1 系统不稳定现象的发生 例 系统的特征方程为: (1)查必要条件: 各系数符号不同, 不满足必要条件, 系统不稳定。 (2)查Routh表第一列的系数 s4 s3 s2 s1 s0 改变符号一次 改变符号一次 第一列各元素改变符号次数为2, 不满足充分条件, 系统不稳定。 本题的根为-1, 2, 3, -5, 有两个正实部根。 符号的改变次数 = 正实部特征根的个数 P 147 5.2.1 二阶~四阶系统的Routh稳定判据 对于特征方程阶次较低（如n≤4）的系统，Routh稳定判据可转化为如下简单的形式, 以便于应用。 (1) 二阶系统, n=2, Routh计算表为: s2 s1 s0 得: 系统的稳定条件为 P 148 (2) 三阶系统, n=3, Routh计算表为: s2 s1 s0 s3 故得系统的稳定条件为 P 148 (3) 四阶系统, n=4, Routh计算表为: 故得系统的稳定条件为 s2 s1 s0 s3 s4 P 148 例1 设有系统的方框图如图5.2.1所示。已知?=0.2, ?=86.6,试确定K的值使系统稳定。 解 系统的开环及闭环传递函数分别为: 开环 闭环 闭环传递函数的特征方程为: 代入已知参数, 得: - + Xi Xo E 图5.2.1 + + 1 K/s P 148 作Routh表: 系统稳定的条件为: (1)必要条件: 7500K0 即 K0 (2)充分条件: 即 K34.6 所以, 使系统稳定的K值的范围为: 0 K34.6。 P 149 5.2.3 Routh 判据的特殊情况 特殊情况1：第一列出现0 第一列出现0 各项系数均为正数 解决方法：用任意小正数?代之。 特殊情况2：某一行元素均为0 解决方法：用全0行的上一行元素构成辅助方程,用对该方程求导后的方程系数替代全0行. 各项系数均为正数 求导得: 例如： 出现全0行 还可由这些辅助方程求出相应的极点 说明:劳斯阵列出现全零行表明 系统在s平面有对称分布的根 共轭虚根 对称于实轴的两对共轭复根 对称于虚轴 电子教案 机械工程控制基础课程 5.3 Nyquist 稳定判据 P 151 5.3 Nyquist稳定判据 Nyquist稳定判据利用系统开环频率特性GK(jω)在[GH]平面上的Nyquist图来判别系统闭环的稳定性。 记 P—GK(jω)在[s]平面的右半平面的极点数; N— GK(jω)在[GH]平面的轨迹逆时针包围点(-1,j0)的圈数。 当ω由－∞到＋∞变化时, [GH]平面的轨迹GK(jω)逆时针包围点(-1,j0) P圈, 则系统GB(jω)稳定。 ——Nyquist稳定判据。 P 151 P 155 当 P≠0 和? 由–∞到＋∞变化时, 若 [GH]平面的轨迹GK(j?)逆时针包围点(–1, j0) N圈, N=P, 则系统GB(j?)稳定; NP, 闭环系统不稳定。 GK(j?)顺时针包围点(–1, j0), 闭环系统不稳定。 当 P=0 和?由–∞到＋∞变化时, 若 [GH]平面的轨迹GK(jω)不包围点(–1, j0), 则系统GB(j?)稳定; 反之, 闭环系统不稳定。 P 155 图5.3.6 P = 0 P≠0 N=P, 系统GB(j?)稳定。 GK(j?) 顺时针包围点 (-1,j0), 闭环系统不稳定。 例1 P 155 ? ?G(j?)? Im Re (-1, j0) 0 K K ? ?G(j?)? Im Re (-1, j0) 0 例2 K ?G(j?)? Im Re 0 ?n (-1, j0) 已知系统开环传递函数为: P =1 ω由－∞到＋∞变化时, [GH]平面的轨迹GK(jω)逆时针包围点(-1,j0) 一圈。 N=P=1, 系统GB(jω)稳定。 系统开环不稳定，而闭环稳定。 P 156 电 子 教 案 机械工程控制基础课程 P 163 5.4 Bode 稳定判据 5.4.1 Bode图与Nyquist图的对应关系 开环极坐标图 (开环Nyquist图) 与开环对数坐标图 (开环Bode图) 有对应的关系。这就意味着在 Nyquist图上利用开环频率特性来判别系统闭环稳定性的方法, 可转换到Bode图上来进行。利用开环对数频率特性来判别系统闭环稳定性的方法及规则, 称 Bode 判据