定积分解读.ppt

例7 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与 底面交成角α,计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 解 建立如图所示的坐标系, o x y x y – R α α R S(x) 面积为S(x),则由三角形的面积公式, 有 设x为[–R,R]上之任意一点, 过该点且垂直 x 轴的截面 则 从而底面圆的方程为 都可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形 绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的 直径旋转一周而成的立体, 所以它们都是旋转体。 2.旋转体的体积 圆柱、圆锥、圆台、球体 o x y y=?(x) a b 旋转体就是由一个平面图形 绕这平面内一条直线旋转一周而 成的立体 。这条直线叫做旋转轴. 上述旋转体都可以看作是由连续曲线y =?(x) 、 直线 x = a 、 直线x = b及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴 旋转一周而成的立体. 的体积微元 在[a, b]上作定积分得 下面用微元法来求它的体积. o x y=?(x) a b x x+dx y 在[a, b]上任取一个小区间[x, x + dx], 窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片 则此小区间上的 (近似值)为 o x y y=?(x) a b x x+dx o x=φ(y) c d y+dy y x y 类似地, 由曲线 x =φ(y) 、 直线 y = c 、 = d(cd)与 y 轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周而成的旋转体的 体积为 计算由椭圆 所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积. 该旋转椭球体可以看作是由 和 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体. 解 例8 例9 求曲线 和 y = 0所围成的图形分别绕 x 轴及 y 轴旋转所得旋转体的体积. o y (1,1) (2,0) x 解 为了确定积分区间, 应先求 两曲线之交点. 绕 x 轴旋转的体积微元为 x 解方程组 在[0, 2]上作定积分得 则绕 y 轴旋转的体积微元为 o x y (1,1) (2,0) 1 故 四、 定积分的经济学应用 1.由边际函数求总函数 设某产品的固定成本为C0,边际成本函数为C?(Q)，边际收益函数为R?(Q),其中Q为产量,并假定该产品处于产销平衡状态. 则 总成本函数 总收益函数 总利润函数 例10 设某产品的总成本C(单位:万元)的边际成本是产量 x(单位: 百台)的函数 总收入R(单位:万元)的 边际收入 是产量 x 的函数 (1)求产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入各 增加多少? (2)已知固定成本C(0)=1万元.分别求出总成本、总收益、 总利润与产量 x 的函数关系式; (3)产量为多少时, 总利润最大; 并求此时的最大总利润,总成本及总收益各为多少? 解 (1)产量由1百台增加到5百台时总成本与总 收入分别为 (2)因总成本是固定成本与可变成本的和, 则总成本 函数为 总收益为 则总利润函数为 L(x) = R(x) - C(x) = 故当产量 x = 4(百台)时, 有最大利润 L(4) = 9(万元). 得驻点 x = 4 此时的总成本为 C(4) =19 (万元) R(4) = 28 (万元). 及总收入为 2. 消费者剩余和生产者剩余 供给曲线描述的是生产者根据不同的价格水平所提供的商品数量,供给曲线是单调递增的． 需求曲线则反映了顾客的购买行为.需求曲线随价格的上升而单调递减. 在市场经济中,有时一些消费者愿意对某种商品付出比他们实际所付出的市场价格P*更高的价格,由此他们所得到的好处称为消费者剩余(CS) . 右边第一项表示消费者愿意支出的货币量,第二项表示消费者的实际支出. 有时也有一些生产者愿意以比市场价格低的价格出售他们的商品,由此他们所得到的好处称为生产者剩余(PS). 3.资本现值与投资问题 现有货币 元, 若按年利率r作连续复利计算,则t年后的价值为 ert元;反之,若t年后要有货币A元,则按连续复利计算,现在应有 Ae-rt元,称此值为资本现值． 设在时间区间[0,T]内t时刻的单位时间收入即边际收入(或称为收入率)为f(t), 则在时间区间[t,t+dt]内收入的近似值为 ， 在[0,T]内总收入的现值为