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三、同平面内力偶的等效定理 定理 作用在同一平面内的两个力偶， 等效 两力偶的力偶矩相等。 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 证明： 充分性 即：若两力偶的力偶矩相等，则它们等效。 d F0 F0’ F’ F 设： 将力移至A、B点。 A B F F’ F0 F0’ D C C’ D’ 因为力偶矩相等，所 以△ABC 因此，CD∥AB， 分解 力，使得 同理： F1 F1’ ， 下面证明两力偶等效。 C’D’ ∥AB。 与△ABD的面 积相等。 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 因为两平行四边形 全等，所以： 故，在力偶 上加上一对 平衡力 ，就 得到力偶 由加减平衡力系公 理，两力偶等效。 充分性证毕 d F0 F0’ F’ F A B F F’ F0 F0’ D C C’ D’ F1 F1’ 必要性 即：若两力偶等效，则它们的力偶矩相等。 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 由力偶等效定理可得两个推论： 推论1： 只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效应不变。 F F ′ F F ′ 力偶可以在其作用面内任意移动和转动，而不改变力偶对刚体的作用效应。 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意转动，其对刚体的作用效应不变。 F F ′ F F ′ *力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 推论2： 只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变力偶对刚体的作用效应。 注意： 此两推论只对同一个刚体成立， 对变形体不成立。 F F ′ F / 2 F′/ 2 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 由此可知: 只有力偶矩(大小和转向)才是平面力偶作用的唯一度量。所以，力偶的表示可以简化： 有时在习题中，用M表示力偶矩的大小（不加正负号）用箭头表示力偶的转向。 力偶中力的大小，力偶臂的长短，都不是力偶的特征量。 或 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 1、平面力偶系的合成 (1). 两力偶的合成 设同一平面内两力偶的力偶矩为M1 和 M2，则它们的合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩为： M = M1 + M2 即：合力偶的力偶矩为两个分力偶的力偶矩的 代数和。 四、平面力偶系的合成与平衡条件 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 证明： F3 F3’ F4 F4’ F F’ 取：AB = d 合力偶的力偶矩为： 所以： 由推论： 合成： 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 (2). 同平面内多个力偶的合成 同上述方法多个力偶的合成，有： 即：平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶 的力偶矩为各个分力偶的力偶矩的代数和。 2、平面力偶系的平衡条件 定理：受平面力偶系作用的刚体平衡的充分必要 条件：各力偶的力偶矩的代数和为零。 即：受平面力偶系作用的刚体，平衡 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 由平衡条件可知：力偶只能用力偶来平衡。 平面力偶系的平衡方程为： 此方程可解一个未知量。 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 注： 例5：结构受力如图, M, r均为已知,且 l = 2r. 求: 画出AB和BDC杆的受 力图;并求A, C处的约束力. 解： （2）取BDC杆， B 处受力的方位可 （1）取AB杆为研究对象; AB杆为二力杆，受 力如图。 以判定。 问题：能否确定C处受力的方位？ 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 问题：能否确定C处受力的方位？ 根据力偶只能用力偶来平衡，可 以确定出C 处受力的方位如图。 （3）求A、C处约束反力 力偶臂EC为： 解出： 结果为正，说明力实际方向与所设方向相同。 H 45o 45o 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 图示系统平衡，是否与力偶只能用力偶来平衡矛盾? 讨论： 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 本章作业: 第1次 2-1, 2-3, 2- 5 第2次 2-10 2- 12 2- 15 静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系 * * 理 论 力 学 * 第一部分 静 力 学 第二章 平面汇交力系与平面力偶系 力系分类： 平面力系 平面汇交力系 平面力偶系 平面任意力系 空间力系 空间汇交力系 空间平行力系(空间力偶系) 空间任意力系 第 2 章 第 2 章 第 3