2015高考不等式专题训练.doc

不等式专题 一、基本不等式 1.重要不等式和基本不等式： (1) 如果则（当且仅当时，取“=”）； （2）如果则（当且仅当时，取“=”） 2.四种平均数的关系： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数方之间的关系是：（当且仅当时，取“=”） 3.利用基本不等式求最值的原理: （1）由基本不等式变形得：.如积 （2）由基本不等式变形得：.如和 即:积定和最小，和定积最大 运用基本不等式求最值的三要素：一正二定三相等 运用基本不等式求最值时，对于有些题目，可以直接利用公式求解,但是有些题目必须进行必要的变形才能利用基本不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 1. 凑系数 例1. 当时，求的最大值。 分析：利用基本不等式求积的最大值，和须为定值，注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 解: ∵ 当且仅当，即x＝2时取等号. 所以当x＝2时，的最大值为8. 评注：无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 2. 凑项 例2. 求函数的最小值 解: 当且仅当，即时等号成立。 评注：无法直接运用基本不等式求解，但凑项后可得到积为定值，从而可利用基本不等式求最小值。 3. 分离 例3. 求的最小值 分析：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离，从而应用基本不等式。 解： （当且仅当x＝1时取“＝”号）。 ∴的最小值为9. 评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正的形式，然后运用基本不等式来求最值。 4.整体代换 例4. 已知，求的最小值。 分析：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。 解： 当且仅当时取等号，由 即时，的最小值为 练习： 1.设若的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 2．已知（ ） (A) (B) (C) (D) 3 已知,则的最小值是_____________ 4已知，且，则的最大值为 5函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______. 6 若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______. 7.已知x0，y0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是_______. （1）恒成立问题(或解集为R)的等价转换: 恒成立；恒成立； 恒成立；恒成立. （2）有解问题的等价转换： 有解；有解； 有解；有解. （3）解集为空的等价转换: 解集为空集；解集为空集； 解集为空集；解集为空集. 三、含绝对值不等式的解法 解含绝对值不等式的关键是设法去掉绝对值符号,下面介绍几种去掉绝对值符号的方法： 方法1 利用绝对值的定义 例1. 解不等式 分析：利用绝对值的定义去掉绝对值的符号，转化为不等式组。 解：原不等式化为：或 即或 ∴或 ∴原不等式的解集为 方法2 公式法 或 例2. (1)|+1|2－－－ 解：(1)原不等式等价于+12－+1－－或，∴原不等式的解集是{|} (2)原不等式等价于－－－ 即 26 ∴原不等式的解集是{|26} 方法3 零点分段讨论法 例3 解不等式：|x-3|-|x+1|1 分析：如何去掉两个绝对值的符号？首先找出零点，第一个绝对值的式子的零点为3，第二个式子的零点为-1，两个零点把数轴分成三段，故可分为三段讨论 解：原不等式等价于 或 或 解得：或或 ∴原不等式的解集为 方法4 平方法 若不等式两边均为非负数，对其两边同时平方，再解不等式。 （切记：若用平方法，则不等式两边必须都是非负数,只有这样，才能运用平方法。） ① ② 例4. 解不等式 解：原不等式变为： 等价于，即 ∴原不等式的解集为 方法5 利用绝对值的几何意义 的几何意义是数轴上的点x到原点的距离，的几何意义是数轴上点x到点a的距离。 例5. 若对一切实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围。 分析：本题可转化为求函数的最小值问题。 解：把看成数轴上的动点x到点和3的距离之和。显然，当时，，则实数a的取值范围应为。 练习： 1、不等式的解集为（ ） A、（-1，2） B、（-1，1） C、（-2，1） D、（-2，2） 不等式的解集是 不等式的解集是 不等式的解集是 5、不等式的解集是（ ） A、 B、 C、 D、 6、不等式的解集为 . . 7、如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点．设x表