2015高考数学专题十：不等式选讲(教师版含13、14年高考试题).doc

2015高考数学专题十：不等式选讲（教师版含13、14年高考题） 考纲要求　 　　(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：　　 　　①|ax+b|≤|a|+|b|.　　 　　②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.　　 　　③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.　　 　　(2)了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明。　　 　　①柯西不等式的向量形式： 0 　　② 0 　　③ 0 (此不等式通常称为平面三角不等式。)　　 　　(3)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 0 　　(4)会用向量递归方法讨论排序不等式。　　 　　(5)了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。　　 　　(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式 0 (x-1，x≠0，n为大于1的正整数)，　　 　　了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。　　 　　(7)会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式,柯西不等式求一些特定函数的极值。　　 　　(8)了解证明不等式的基本方法：比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法。 二、知识点整合： 1． 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)－a； (2)|f(x)|a(a0)－af(x)a. (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解． 2． 含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 3． 柯西不等式 (1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． (2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(a)(b)≥(aibi)2，当且仅当＝＝…＝(当某bj＝0时，认为aj＝0，j(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立． 4． 不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 1． (2013·重庆)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|a无解，则实数a的取值范围是____． 答案　(－∞，8] 解析　∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3| ≥|5－x＋x＋3|＝8， ∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8， 要使|x－5|＋|x＋3|a无解，只需a≤8. 2． (2013·江西)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________． 答案　[0,4] 解析　由||x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1， 解得0≤x≤4. ∴不等式的解集为[0,4]． 3． (2013·陕西)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________． 答案　2 解析　由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋)2＝mn(a＋b)2＝2. 4． (2012·山东)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________. 答案　2 解析　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. 5． (2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为________． 答案　9 解析　＝5＋＋4x2y2 ≥5＋2 ＝9， 当且仅当x2y2＝时“＝”成立． [2014·陕西卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点到直线ρ ＝1的距离是________．　[2014·江西卷] x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．[0，2]　 [2014·陕西卷] (不等式选做题)设a，b，m，，且a＋b＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．　 [解析]由柯西不等式可知(a＋b)(m2＋n)≥(ma＋nb)，即5(m＋n)≥25，当且仅当an＝bm时，等号成立，所以. 三、典型题型 题型一　含绝对值的不等式的解法 例1　(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当a＝－2时，求不等式f(x)g(x)的解集； (2)设a－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 审题破题　(1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x∈时去绝对值，利用函数最值求a的范围． 解　(1)当a＝－2时，不等式f(x