美式期权定价的二次逼近方法详解.ppt

美式期权定价的二次逼近方法 Quadratic Approximation Methods for Pricing the American Options 目录 I.美式期权定价方法综述 数值方法： 有限差分法(Brennan and Schwartz 1977) 二叉树模型(Cox, Ross and Rubinstein 1979) 数值方法的特点：结果精确但计算比较复杂且耗时 解析近似方法： 复式期权法(Geske and Johnson 1984) 二次逼近方法(MacMillan 1986, Barone-Adesi and Whaley 1987) 解析近似方法的特点：相比数值方法计算简单直观，得到结果速度快且精度也比较高 使用回归技术(Johnson 1983, Broadie and Detemple 1996) 回归方法的特点：计算快速但必须依赖于大量数据 II.期权价值所满足的偏微分方程 1/2σ2S2Vss+bSVs-rV+Vt=0 Merton（1973） σ：标的资产价格的瞬时标准差 S：标的资产的价格 V：期权价值 Vs：期权价值V对S的一阶偏导数 Vss：期权价值V对S的二阶偏导数 Vt：期权价值V对时间t的一阶偏导数 b：标的资产的持有成本 r：无风险利率 II.期权价值所满足的偏微分方程推导 推导过程： 假定标的资产的价格S遵循以下过程： dS=μSdt+σSdz 其中，μ和σ分别为标的资产价格的瞬时预期增长率和波动率；dz是维纳过程 由于期权价值V是S和t的函数，它遵循Ito定理，即： dV=(VSμS+ Vt+1/2 VSSσ2S2)dt+ VSσSdz 建立一个资产组合，其构成那个如下： -1：基于某种资产的期权 + VS：某种标的资产 则该资产组合的价值∏=-V+ VSS 在Δt时间内标的资产价格的变化ΔS为： ΔS=μS Δt +σS Δz 期权价值的变化ΔV为： ΔV=(VSμS+ Vt+1/2 VSSσ2S2)Δt+ VSσSΔz II.期权价值所满足的偏微分方程推导 于是在Δt时间内资产组合的价值变化Δ∏为： Δ∏=-ΔV+ VSΔS 把ΔV和ΔS代入，整理得： Δ∏=-(Vt+1/2 VSSσ2S2)Δt 另外在Δt时间内持有资产的收益率是（r-b），即，在Δt时间内持有VS份资产可以得到收益： VSSΔt(r-b) 于是在Δt时间内总的财富变化ΔW为 ΔW=[-Vt-1/2 VSSσ2S2+VSS(r-b)]Δt 由于表达式独立于维纳过程，该资产组合是瞬时无风险的，因此有： ΔW=r*∏*Δt 也即：-Vt-1/2 VSSσ2S2+VSS(r-b)=r(-V+ VSS) 把等式右边的项移到右边即得： 1/2σ2S2Vss+bSVs-rV+Vt=0 得证 II.欧式期权定价公式 如果把上述微分方程用于欧式期权的定价，加上欧式期权价值的边界条件可以很容易得到欧式期权的定价公式，这里仅给出结果： c(S,T)=Se(b-r)TN(d1)-Xe-rTN(d2) p(S,T)= Xe-rTN(-d2)- Se(b-r)TN(-d1) B-S定价公式只是b=r时的特例 如果美式期权没有被提前执行，则欧式期权的定价公式可以用来为美式期权进行定价，但如果美式期权提前执行，则不再适用，需要用美式期权的定价方法。 II.美式期权提前执行的条件 对于美式看涨期权： 因为相应欧式看涨期权的价格范围是： Se(b-r)T-Xe-rT≤c(S,T) ≤S 而C(S,T)≥c(S,T) 所以有C(S,T)≥Se(b-r)T-Xe-rT 而如果立即执行美式看涨期权其价值为C=S-X 当br时，无法确定Se(b-r)T-Xe-rT和S-X的大小，美式看涨期权有可能被提前执行 当b≥r时，Se(b-r)T-Xe-rT S-X，美式看涨期权不应该被提前执行。 因此，对于美式看涨期权，如果b≥r，由于其不会被提前执行，因此可以用欧式看涨期权的定价公式为其定价，但当br时，需要用相关美式期权的定价公式进行定价 II.美式期权提前执行的条件 对于美式看跌期权： 因为相应欧式看跌期权的价格范围是： Xe-rT-Se(b-r)T≤p(S,T) ≤X 而P(S,T)≥p(S,T) 所以有P(S,T)≥Xe-rT-Se(b-r)T 而如果立即执行美式看跌期权其价值为C=X-S 当br时，无法确定Xe-rT-Se(b-r)T和X-S的大小，美式看跌期权有可能被提前执行 当b≥r时，X-SXe-rT-Se(b-r)T，美式看跌期权应该被提前执行 因此，对于美式看跌期权，由于其总是存在提前执行的可能性，因此欧式看跌期权的定价公式不适用为美式看跌期权进行定价，需要相