第八章 双变量回归与相关.ppt

102 第八章 双变量相关与回归 Linear Regression and Correlation 双变量计量资料：每个个体有两个变量值 总体：无限或有限对变量值 样本：从总体随机抽取的n对变量值 （X1,Y1）, （X2,Y2）, …, （Xn,Yn） 目的：研究X和Y的数量关系 方法：相关与回归 简单、基本——直线相关、直线回归 第一节 直线相关 一、直线相关的概念 直线相关(linear correlation)又称简单相关(simple correlation)，用于双变量正态分布(bivariate normal distribution)资料。其性质可由图9-6散点图直观的说明。 目的：研究 两个变量X,Y数量上的依存（或相关） 关系。 特点：统计关系 二、相关系数的意义与计算 1. 意义：相关系数（correlation coefficient）又称Pearson积差相关系数，用来说明具有直线关系的两变量间相关的密切程度与相关方向。 2. 计算：样本相关系数的计算公式为 由例9-1算得， 三、相关系数的统计推断 （一）相关系数的假设检验 检验步骤 （二）总体相关系数的可信区间 具体步骤如下 四、决定系数(coefficient of determination) 定义为回归平方和与总平方和之比，计算公式为： 五、直线相关与回归应用的注意事项 1．根据分析目的选择变量及统计方法 2．进行相关、回归分析前应绘制散点图—第一步 （1） 散点图可考察两变量是否有直线趋势； （2） 可发现离群点（outlier）。 3．资料的要求  直线相关分析要求 X与Y 服从双变量正态分布； 直线回归要求至少对于每个 X 相应的 Y 要服从正态分布，X可以是服从正态分布的随机变量也可以是能精确测量和严格控制的非随机变量； * 对于双变量正态分布资料，根据研究目的可选择由 X 估计 Y 或者由 Y 估计 X ，一般情况下两个回归方程不相同）。 4．结果解释及正确应用 反应两变量关系密切程度或数量上影响大小的统计量应该是回归系数或相关系数的绝对值，而不是假设检验的P值。 P值越小只能说越有理由认为变量间的直线关系存在，而不能说关系越密切或越“显著”。另外，直线回归用于预测时，其适用范围一般不应超出样本中自变量的取值范围。 第二节 直线回归 一、直线回归的概念 目的：研究应变量Y对自变量X的数量依 存关系。 特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系， 不同于一般数学上的X 和Y的函数 关系。 在定量描述儿童年龄与其尿肌酐含量数量上的依存关系时，将年龄称为自变量(independent variable)，用 X 表示；尿肌酐含量称为应变量(dependent variable)，用 Y 表示。 由图9-1可见，尿肌酐含量 Y 随年龄 X 增加而增大且呈直线趋势，但并非8个点子恰好全都在一直线上，此与两变量间严格的直线函数关系不同，称为直线回归（linear regression）,其方程叫直线回归方程，以区别严格意义的直线方程。 双变量直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归。 1．a 为回归直线在 Y 轴上的截距。 a 0，表示直线与纵轴的交点在原点的上方； a 0，则交点在原点的下方； a = 0，则回归直线通过原点。 2. b为回归系数，即直线的斜率。 b0，直线从左下方走向右上方，Y 随 X 增大而增大； b0，直线从左上方走向右下方，Y 随 X 增大而减小； b=0，表示直线与 X 轴平行，X 与Y 无直线关系。 二、直线回归方程的求法 残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回归线上的估计值 的纵向距离 。 求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好地代表数据点分布趋势的直线。 此直线必然通过点( , )且与纵坐标轴相交于截距 a 。如果散点图没有从坐标系原点开始，可在自变量实测范围内远端取易于读数的 X 值代入回归方程得到一个点的坐标，连接此点与点( , )也可绘出回归直线。 X Y b 的统计学意义是：X 每增加(减)一个单位，Y 平均改变b个单位。 b0 b0 b=0 原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小 （X，Y） 例9-1