2011-2013年全国高考数学汇编直线与圆解读.doc

2011年高考试题数学（理科）直线与圆 一、选择题: 1．若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 A．(，) B．()∪(0，) c．[，] ．(，)∪(，+) 内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 （A） （B） （C） （D） 二、填空题: 1.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点 ④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【命题意图】本题考查直线方程、直线过定点、充分必要条件、存在性问题、命题真假的判定，考查学生分析、判断、转化、解决问题能力，此类问题正确的命题要给出证明，错误的要给出反例，此题综合性较强，难度较大. 【答案】①③⑤ 【解析】①正确，设，当是整数时，是无理数，（，）必不是整点. ②不正确，设=，=－，则直线=过整点（1,0）经过无穷多个整点，则直线必然经过两个不同整点，显然成立；反之成立，设直线经过两个整点，，则的方程为，令=（），则∈Z，且=也是整数，故经过无穷多个整点. ④不正确，由③知直线经过无穷多个整点的充要条件是直线经过两个不同的整点,设为，，则的方程为， ∵直线方程为的形式，∴，∴=， ∴，∈Q，反之不成立，如，则，若∈Z，则Z，即，∈Q，得不到经过无穷个整点. ⑤正确，直线=只过整点（1,0）位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为 解析：。 为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得： 三、解答题: 1. (2011年高考山东卷理科22)（本小题满分14分） 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点. （Ⅰ）证明和均为定值; （Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值； （Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由. 【解析】的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称， 所以因为在椭圆上，因此 ① 又因为所以②；由①、②得 此时 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由题意知m，将其代入，得， 其中即 …………（*） 又 所以 因为点O到直线的距离为所以 ，又 整理得且符合（*）式， 此时 综上所述，结论成立。 （II）解法一： （1）当直线的斜率存在时，由（I）知 因此 （2）当直线的斜率存在时，由（I）知 所以 所以，当且仅当时，等号成立. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为 解法二： 因为 所以 即当且仅当时等号成立。 因此 |OM|·|PQ|的最大值为 （III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得 证明：假设存在， 由（I）得 因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾， 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G. 2. (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切. （1）求C的圆心轨迹L的方程. （2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标. 【解析】（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知 化简得L的方程为 （2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得 解得 因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故 ，若P不在直线MF上，在中有 故只在T1点取得最大值2。 3．(2011年高考福建卷理科17)（本小题满分13分） 已知直线l：y=x+m，m∈R。 （I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； （II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。 【命题意图】本题考查圆的方程、直线与圆相切知识、两直线的位置关系、直线与抛物线位置关系等基础知识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想，是中档题. 【解析】（I）由题意知(0, ),∵以点(2,0）为圆心的圆与直线相切与点, ∴==,解得=2，∴圆的半径=， ∴所求圆的方程为； （II）∵直线关于轴对称的直线为，：，∈， ∴：，代入得， ==， 当＜1时，＞0，直线与抛物线C相交； 当=1时，=0，直线与抛物线C相切； 当＞1时，＜0，