2011-第6章有限元法-1解读.ppt

* 与右边的公式对照，可解得 　　(2) 同理，设vi=１，其余位移分量均为零，即ui=?iz=uj=vj=?zj= 0, 此时由梁的变形公式得 伸缩： 挠度： 转角： * * 图6-15(b) 由上述三式可以解得 利用静力平衡条件 由右上角的公式，可以求得 * * * 　　(3)同理，设 ，其余位移分量均为零，即 此时梁单元如图6-15(c)所示，由梁的变形公式得 伸缩： 挠度： 转角： 由上述三式可以解得 * * 图6-15(c) * 利用静力平衡条件，可得 于是 　　剩余三种情况，仿此可推出。最后可以得到平面弯曲梁元的单元刚度矩阵为 这样，便求得下面公式中的单元刚度矩阵中前三列刚度系数。 * * 可以看出， [K](e)为对称矩阵。 * 2. 虚功原理法 　　下面以平面问题中的三角形单元为例，说明利用虚功原理法来建立单元刚度矩阵的步骤。 　　如前所述，将一个连续的弹性体分割为一定形状和数量的单元，从而使连续体转换为有限个单元组成的组合体。单元与单元之间仅通过节点连结，除此之外再无其他连结。也就是说，一个单元上的只能通过节点传递到相邻单元。 　　从分析对象的组合体中任取一个三角形单元： 　　设其编号为 e ， 　　三个节点的编号为i、j、m， 在定义的坐标系 xoy 中，节点坐 标分别为(x j , y j)、(xi , y i)、(xm, ym)，如右图所示。 图6-16 三节点三角形单元 * * * 　　由弹性力学平面问题的特点可知，单元每个节点有两个位移分 量，即每个单元有6个自由度，相应有6个节点载荷，写成矩阵形式， 即 单元节点载荷矩阵： 单元节点位移矩阵： 图6-16 三节点三角形单元 * * * (1)设定位移函数 按照有限元法的基本思想：首先需设定一种函数来近似表达单元内部的实际位移分布，称为位移函数，或位移模式。 三节点三角形单元有6个自由度，可以确定 6个待定系数，故三角形单元的位移函数为 （6-19） 式(6-19)为线性多项式，称为线性位移函数，相应的单元称为线性单元。 * * * 上式(6-19)也可用矩阵形式表示，即 式中，{d}为单元内任意点的位移列阵。 （6-20） * * * 　　由于节点 i、j、m 在单元上，它们的位移自然也就满足位移函数式(6-19)。 　　设三个节点的位移值分别为( ui, vi)、( uj, vj )、( um, vm )，将节 点位移和节点坐标代入式(6-19)，得 * * * （6-21） 式中 （6-22） 　　由上可知，共有6个方程，可以求出6个待定系数。解方程，求得 各待定系数和节点位移之间的表达式为 为三角形单元的面积。其中： * * * （5-9） 将式(6-21)及式(6-22)代入式(6-20)中，得到 * * （6-23） （6-24） * 式中，矩阵[N] 称为单元的形函数矩阵； 为单元节点位移列阵。 其中， 为单元的形函数，它们反映单元内位移的 分布形态，是x, y 坐标的连续函数，且有 （5-12） 式(6-23)又可以写成 （5-13） 上式清楚地表示了单元内任意点位移可由节点位移插值求出。 * * （6-25） （6-26） * (2) 利用几何方程由位移函数求应变 　　根据弹性力学的几何方程 ， 　　线应变 　　　 　　剪切应变 　　则应变列阵可以写成 式中，[B]称为单元应变矩阵，它是仅与单元几何尺寸有关的常量矩阵，即 （5-14） * * （6-27） * （5-15） 上述方程(6-27)称为单元应变方程，它的意义在于： 单元内任意点的应变分量亦可用基本未知量即节点位移分量来表示。 * * （6-28） * (3)利用广义虎克定律求出单元应力方程 根据广义虎克定律，对于平面应力问题 上式（5-16）也可写成 （5-16） （5-17） 式中， 为应力列阵； [D] 称为弹性力学平面问题的弹性矩阵，并有 * * （6-29） （6-30） * 则有如下单元应力方程 由式(6-32)可求单元内任意点的应力分量，它也可用基本未知量即 节点位移分量来表示。 （6-31） （5-19） * * （6-32） * (4)由虚功原理求单元刚度