2012.3.24第九章1节多元函数的基本概念解读.ppt

第九章 例. 讨论函数 练习. 证明 四、二元函数的连续、间断 ◆定义: ◆定义: 等价定义． 若二元函数 满足条件 则称函数 在点 处连续． 若函数 在点 处不连续， 则称点 为 的 间断点． (1)在点 的某邻域内有定义； (2) 存在； (3) 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如， 间断点为： 间断点为： 由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数 ▲多元初等函数： ▲一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． ▲定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 经过有限次的四则运算和复合运算， 且能用一个式子表示的多元函数， 叫做多元初等函数. 例5 解 例6 解 多元初等函数的连续性 * 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用 ◆本章教学内容(8小节)： 1 多元函数的基本概念 2 偏导数 4 多元复合函数的求导法则 5 隐函数的求导公式 6 多元函数微分学的几何应用 7* 方向导数与梯度 8 多元函数的极值及其求法 3 全微分 第九章 多元函数微分法及其应用 1、平面点集： 第九章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 (1) 邻域 , 去心邻域 邻域的半径 邻域的中心 (2) 区域 ◆内点、外点、边界点、聚点： .内点一定是聚点； 显然： .边界点可能是聚点，也可能不是聚点. .外点一定不是聚点; ◆开集、闭集、连通集： 开集： 若点集E的点都是内点， 则称点集E是开集; 闭集： 若点集E的边界 则称点集E是闭集; 连通集： 若点集E内任意两点可以用E中的折线连结起来， 则称点集E是连通集. E D ? 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 则称 D 是连通的 ; 。 。 *连通的开集称为区域或开区域． 例如 例如 ◆区域（开区域）、闭区域： *区域连同其边界一起，称为闭区域． 是有界集； 是无界集． 例如： ◆有界集、无界集： x y 2 1 D 2、n维空间 为 维空间中的一个点． 数 称为 该点的第 个坐标． ◆ n 维空间中邻域与去心邻域的概念： 内点、边界点、开集、区域等概念也可类似地定义． 邻域： 去心邻域： 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的定义 ◆二元函数的定义： 二、多元函数的定义 ◆类似地可定义三元、四元、…，n元函数. ◆二元函数的定义： ◆二元及二元以上的函数称为多元函数. 值域 见 P56-57 例 解 所求定义域为 D 例 求下列函数的定义域： 解 D x y 1 (3) y x o (2) x y 1 (1) D 2.二元函数的几何意义： 如, 平面. 上半球面. 旋转抛物面. 曲面上点的坐标: 二元函数的图形通常是一张空间曲面 例如 例如 例如 例如 三、多元函数的极限（二元函数的二重极限） ◆定义: 设函数 在区域 D 内有定义, 当点(x , y)趋于点(x0 , y0 )时, z = f (x , y) 无限趋近于常数 A 是 D 的点 . ◆二重极限的说明: （1）定义中 的方式是任意的； （2）二重极限的运算法则与一元函数的 极限运算法则类似． D y x 1o 定义中 的方式是任意的； ? 若当点 趋于不同值或有的极限不存在， 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则可以断定函数极限 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点的极限不存在 . 以不同方式趋于 不存在 . 函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 找两种特殊路径L1，L2，若 (1) 确定极限不存在的方法： 趋向于 ) , ( 0 0 0 y x P ，若 与 k 有关，则可断言: 二重极限 令 ) , ( y x P 沿直线 (2) 例1 设 求证： 证: 故 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 例2 求极限 解 其中 分析. x y o 例3 证明 不存在． 例3 证明