2014年第一轮复习第二章函数、导数及其应用第十五节用导数解决生活中的解读.ppt

变式探究 课时升华 利用导数解决实际问题中的优化问题应注意的几点： 1．利用导数解决实际问题，关键在于要建立适当的数学模型(即函数关系)，如果函数在区间内只有一个点使得f′(x)＝0，此时函数在这点有极大(小)值，那么可不与区间端点的函数值进行比较，也可以知道这一点即为最大(小)值点． 2．实际应用中准确地列出函数的解析式，确定函数的定义域是求解的关键． 3．在求实际问题的最值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去. 感 悟 高 考 品味高考 1．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系M(t)＝M02 ，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137的含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝ (　　) A．5太贝克　　　　　　　 B．75ln 2太贝克 C．150ln 2太贝克 D．150太贝克 2．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 第十五节　用导数解决生活中的 优化问题 第二章　函数、导数及其应用 考 纲 要 求 会利用导数解决某些实际问题． 课 前 自 修 知识梳理 优化问题：社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润________、用料________、效率________等问题通常称为________问题． 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤： (1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的________，写出实际问题中_________________________，根据实际问题确定定义域； 最大 最省 最高 优化 数学模型 变量间的函数关系式y＝f(x) (2)求函数y＝f(x)的___________，解方程__________，得出定义域内的实根，确定________； (3)比较函数在__________和________的函数值的大小，获得所求函数的最大(小)值； (4)还原到实际问题中作答． 导数f′(x) f′(x)＝0 极值点 区间端点 极值点 基础自测 1．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 (　　) A．10　　　　B．15　　　　C．25　　　　D．50 2．圆柱形金属饮料罐容积一定时，要使材料最省，则它的高与半径的比应为 (　　) A. B．2 C. D．3 C 3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 (　　) A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒 解析：由导数的物理意义知，位移的导数是瞬时速度，由s＝1－t＋t2求导得v＝s′＝－1＋2t，当t＝3时，v＝5.故选C. 答案：C 4．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果制作容器的一边比另一边长0.5 m，那么高为________时，容器容积最大． 考 点 探 究 考点一 利润最大问题 【例1】　某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(单位：吨)与每吨产品的价格p(单位：元/吨)之间的关系式为p＝24 200－ x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x(单位：元)．问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润f(x)达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本) 思路点拨：根据题意，列出利润的函数关系式，进而可用导数求最值的方法进行求解． 点评：利用导数求实际问题中的最大值或最小值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点． 变式探究 1．(2012·泉州市检测)某公司生产一种产品，每生产1千件需投入成本81万元，每千件的销售收入R(x)(单位：万元)与年产量x(单位：千件)满足关系：R(x)＝－x2＋324(0x≤10)．该公司为了在生产中获得最大利润(年利润＝年销售收入－年总成本)，则年产量应为 (　　) A．5千件 B．6 千件 C．9千件 D．10千件 解析：依题意，年利润y＝x(－x2＋324)－81x＝－x3＋243x (0x≤10)，求导得y′＝－3x2＋243，令y′＝0，得x＝9(舍