2012有限元方法(第2章上课用)解读.ppt

第二章 平面问题三角形单元 引　言 一　为什么先进行平面问题的有限元法： １.平面问题的有限元分析较简单，具有典型性 ２.在工程应用中有其实际意义，主要表现在在满足工程精度的要求 下，降低问题的复杂性，提高分析问题的效率。 ３.平面问题的有限元分析是今后进一步分析轴对称问题，三维问题 及板壳问题的基础。从平面问题的有限元法分析入手，可有利于有 限元基本概念、方法、理论的理解与掌握。 引　言 二　选用的单元类型及特点 　　进行平面问题研究时，选用三角形单元较简单。三节点的三角 形单元又是最简单而又被广泛采用的一种单元类型。 　　由于在平面问题分析中，结构发生的是平面变形，三角形的三 个节点可以看作是平面铰，每个节点具有两个自由度，这样共有３ 个节点６个自由度，如果节点位移或其中某一个分量为零时，可在 该节点处设置一个平面铰支座或连杆支座，以限制其位移。由三角 单元离散的结构是由三角形单元的节点铰接而成的。 弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 1、所分析问题的数学建模 2、离散化 3、单元分析 4、整体分析与求解 5、结果分析 2.1离散化 三角形单元的网格剖分原则 １.各节点必须相连。 如图所示中（a）是正确的，而（b）是错误的。 ２.三角形单元不能奇异，也就是三角形单元中的三个边长不能相差 太大，或者有过大的钝角或过小的锐角，如图示 ３.单元的大小，数目取决于计算精度的要求和计算容量的限制 　　分网时首先要满足计算精度的要求，同时可利用结构的对称性，循环对称性的特点，从厚结构中取出一部分进行分析，或者对有应力集中的构件，采用疏密不同的网格剖分。边界曲折、应力集中的单元尺寸小些，在同一问题中，最大单元与最小单元的尺寸之比不能过大。 四　节点编号的约定 １.节点编号分为局部节点编号和总体节点编号两种。（有限元软件在最后都有节点重新编号的要求） 　　 在公式推导中用i，j，m编号我们约定其为逆时针顺序。 这主要是因为要保证用i，j，m节点计算的单元面积为正值，如下图： ２.相邻节点号的差值要尽可能小（对软件应用者，记住要重新编号）。如图 最大差值为5 最大差值为4 五　三角形单元划分的示例 在单元任一节点处，三个形函数之和等于１。 证明如下：　 Ｎi（x，y）+Ｎj（x，y）+Ｎm（x，y） = （ai+ bix+ ciy+ aj+ bjx+ cjy+am+ bmx+ cmy）／（２ ?） =[（ ai + aj + am ）+ （ bi + bj + bm ）x+ （ ci + cj + cm ）y]／（２ ?） =（ ２ ?+0+0）/ （２ ?） =1 此外，形函数与位移函数是同样类型的函数。 如：位移函数　　u=?1+ ?2x+ ?3y　　 　　形函数　　　Ｎi=（ ai + bix + ciy）／（２ ?） 　　 5.位移函数与解的收敛性 　　选择位移函数时，为保证有限元法的收敛性，必须满足以下４ 个条件： １.位移函数必须包含单元的常量应变 ２.位移函数必须包含单元的刚体位移 ３.位移函数在单元内部必须是连续函数（连续性要求） ４.位移函数应使得相邻单元间的位移协调（保续性要求） 　　上述四个条件中，若全部满足，这样的位移函数构成的单元称 为协调单元，若只满足前三条，则称为非协调单元 4位移函数与解的收敛性 　　下面我们用以下四个条件来考察三角形常应变单元的位移函数 （１）由?=[?x , ?y , ?xy]T =[?2 , ?6 , ?5 + ?3] T 　　因?2 , ?6 , ?5 + ?3都是常数，与某坐标无关，因此含有常应变项 （２）将位移函数可改写成 位移函数与解的收敛性 　　当发生刚体位移时： ?x = ?x = ?xy =0　也就是 　　?2 = ?6 = ?5 + ?3 = 0 　　这时： 　　其中u0　, v0为平动位移分量。 　　?0为单元绕垂直于x，y平面的轴线作刚体转动时的角位移，它 表示了刚体位移。 位移函数与解的收敛性 （３）位移函数（２-２）或是x，y的单值连续函数，故满足连续性 要求。 （４）位移函数（２-２）式是线性函数，由于相邻单元在公共节点 处的位移值相等，而通过两个节点可以连成一直线，其连线上的位 移相同，因此边界上各点的位移是连续的，不会出现： 综上所述，三角形常应变单元属于协调元 单元刚度方程 　　对单元进行力学特性分析目的在于确定单元节点力与节点位移的 关系，并称之为单元刚度方程：Ｋe ?e =Ｆe 　　式中：Ｒe ， ?e ——单元节点力及节点位