2013第5章大数定律解读.ppt

第五章 大数定律及中心极限定理 * §1 大数定律 * 事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳定于某个常数(概率).大量测量值的算术平均值也具有稳定性 * 定理 (伯努利大数定理) 设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数. p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对于任意正数e0, 有 或 * 设Y1,Y2,...,Yn,...是一个随机变量序列, a是一个常数. 若对于任意正数e, 有 则称序列Y1,Y2,...,Yn,...依概率收敛于a. 记为 * 依概率收敛于事件的概率p. 以严格的数学形式表达了频率的稳定性. * 依概率收敛的序列还有以下性质. * 定理(辛钦大数定理) 设随机变量X1,X2,...,Xn,...相互独立, 服从同一分布, 且具有数学期望E(Xk)= m, (k=1,2,...), 则对于任意正数e, 有 * E(X1)=E(X2)=...=E(Xn)=m. 这种接近是概率意义下的接近. 通俗地说, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时将几乎变成一个常数. * 上述定理一又可叙述为:辛钦大数定理 设随机变量X1,X2,...,Xn,...相互独立,服从同一分布, 且具有数学期望E(Xk)= m, (k=1,2,...),则序列 * §2 中心极限定理 * 在客观实际中有许多随机变量, 它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的. 而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的. 这种随机变量往往近似地服从正态分布. 这种现象就是中心极限定理的客观背景. * 定理 (独立同分布的中心极限定理) 设随机变量X1,X2,...,Xn,...相互独立, 服从同一分布, 且具有数学期望和方差E(Xk)=m, D(Xk)=s2, (k=1,2,...). 则随机变量之和X1+X2+...+Xn的标准化变量（设为Yn）近似服从标准正态分布 * Yn的分布函数Fn(x)对于任意x满足 * 此定理说明, 均值为m, 方差为s2的独立同分布的n个随机变量(n超过10或者20以上) 和X1+X2+...+Xn近似服从正态分布N(nm, ns2). 或者将其标准化有 这样就可以用正态分布对X1+X2+...+Xn作理论分析或作概率计算, 好处是明显的. * 将(2.2)式左端改写成 这是独立同分布中心极限定理结果的另一个形式. 这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础. * 定理 (李雅普诺夫定理) 设随机变量X1 ,X2, ...,Xn,..., 相互独立, 它们具有数学期望和方差: 若存在正数d, 使得当n??时, * 则随机变量之和X1+X2+...+Xn的标准化变量: 的分布函数Fn(x)对于任意的x, 满足 * 定理表明, 在定理的条件下, 随机变量 * 无论各个随机变量Xk(k=1,2,...)服从什么分布, 只要满足定理的条件, 则它们的和X1+X2+...+Xn当n很大时, 就近似地服从正态分布. 这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因. * 定理六(棣莫弗-拉普拉斯定理) 设随机变量hn(n=1,2,...)服从参数为n,p(0p1)的二项分布, 则对于任意x, 有 * 例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,...,20), 设它们是相互独立的随机变量, 且都在区间(0,10)上服从均匀分布, 记V=V1+V2+...+V20, 求P(V105)的近似值.解 易知E(Vk)=5, D(Vk)=100/12(k=1,2,...,20). 则E(V)=E(V1+...+V20)=E(V1)+...+E(V20)=100, D(V)=D(V1+...+V20)=D(V1)+...+D(V20)=1000/6,根据中心极限定理, 近似有 V~N(100, 1000/6). * V~N(100, 1000/6). 于是 即有 P{V105}?0.348. * 例2 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次波浪的冲击, 纵摇角大于3o的概率为p=1/3, 若船舶遭受了90000次波浪冲击, 问其中有29500~30500次纵摇角大于3o的概率是多少?解 将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验, 并假定各次试验是独立的. 在90000次波浪冲击中纵摇角度大于3o的次数记为X, 则X是一个随机变量, 且有X~b(90000, 1/3). 则E(X)=np=90000?(1/3)=30000, D(X)=np(1-p)=90000?(1/3)?(2/3)=20000. * E(X)=30000, D(X)=20000,因此, 根据中心极限定理, 近似