2013数值解读.ppt

1.1 数值分析研究对象与特点 一、数值分析研究对象 计算机解决科学计算问题时经历的过程 数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。 本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。 二、数值分析的特点 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。 要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。 三、数值分析的学习方法 初学可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。给出如下的几点学习方法。 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应公式多和讲究理论分析的特点。 注重各章节所研究算法的提出，掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。 理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，而且对一些最基本的算法要非常熟悉。 要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。 为掌握本课的内容，还应做一些理论分析和计算练习。 1.2 数值计算的误差 计算结果： 知 识 结 构 图 一 4.1 引言 一、数值求积的基本思想 对定义在区间［a,b］上的定积分 5.1 引言 7.1 方程求根与二分法 一、引言 8.1 引言 物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。 9.1 引言 虽然求解微分方程有许多解析方法，但解析方法只能够 求解一些特殊类型的方程，从实际意义上来讲。我们更关心 的是某些 特定的自变量在某一个定义范围内的一系列离散 点上的近似值。一组近似解称为微分方程在该范围内的数值 解，寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。 2.7500000 2.5587918 2.5380029 … 2.5365323 (1 1 1) T (0.9091 0.8182 1) T (0.7651 0.6674 1) T (0.7494 0.6508 1) T … (0.7482 0.6497 1) T 0 1 5 10 … 20 Max(vk) Uk(规范化向量) k 于是主特征值为：2.5365323； 对应特征向量为：(0.7482 0.6497 1) T 0.018752 0.001423 0.000108 | xk- xk-1| 1.5 1.481248 1.482671 1.482563 xk 0 1 2 3 k 7.3 牛顿法 一、牛顿法及其收敛性 2 3 k 0.5 0.57102 xk 0.56716 0.56714 0 1 xk k 二、牛顿法应用举例 10 10.750000 10.723837 10.723805 10.723805 0 1 2 3 4 xk k 三、简化牛顿法与牛顿下山法 0.6 17.9 发散 xk 1.5 1.34783 1.32520 1.32472 xk 0.6 -1.384 1.140625 -0.656643 1.36181 0.1866 1.32628 0.00667 1.32472 0.0000086 0 1 2 3 4 xk f(xk) k 四、重根情形 1.5 1.416666667 1.414215686 1.414213562 (2) 1.5 1.458333333 1.436607143 1.425497619 (1) x0 x1 x2 x3 xk 1.5