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现代信号处理方法4 第四部分：高阶谱理论 绪 论 非因果、非最小相位系统和非高斯信号的主要数学分析工具是高阶统计量。虽然在20世纪60年代初，数学、统计学、流体动力学、信号处理和其它领域的研究人员早就开始对高阶统计量的研究，但真正的研究高潮是在80年代后期才形成的。经过短短几年的迅速发展，高阶统计量已在雷达、声纳、通信、海洋学、天文学、电磁学、等离子体、结晶学、地球物理、生物医学、故障诊断、震动分析、流体动力学等领域获得大量应用。高阶统计量之所以能够大大超越功率谱和相关函数，原因是高阶统计量包含二阶统计量没有的大量丰富信息。所以凡是用功率谱或相关函数进行分析和处理，而又未得到满意结果的都可以重新试用高阶统计量方法。 高阶谱的基本理论 第一节 特征函数 定义1.1.1:随机变量的分布函数为，其特征函数定义为 （1.1.1） 特征函数在原点有最大值，即 (1.1.2) 利用概率论中公式： (1.1.3) 可得到特征函数一般形式 (1.1.4) 特别地，若为连续随机随机变量为概率密度，则(1.1.1)式变为 (1.1.5) 由傅立叶变换可以得到 （1.1.6） 记随机变量的分布函数为，且为特征函数。若，则有 (1.1.7) 进一步，若，…,为独立的随机变量,且，则 (1.1.8) 即独立（有界的）随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积。 若和是具有相同特征函数的分布函数，即对于所有， （1.1.9） 则有。 定义1.1.2：令X是一随机向量，且＝。则随机向量X的特征函数定义为 (1.1.10) 关于随机向量，我们有如下结论：随机向量X的各个分量彼此独立的充分必要条件是，其特征函数是各分量的特征函数之积： (1.1.11) 第二节 高阶矩、高阶累及其谱 1.2.1高阶矩和高阶累积量的定义 在（1.1.1）式中令，并记为，则有随机变量的特征函数为 (1.2.1) 对上式求次导数得： 因此 (1.2.2a) 或 （1.2.2b） 即在原点的阶导数等于的阶矩。因此常将或称为的矩生成函数（又叫第一特征函数）。 函数 (1.2.3) 或被称为的累积量生成函数（又叫第二特征函数）。随机变量的阶累积量生成函数的阶导数在原点的值，即 (1.2.4) 由(1.2.1)式得，从而有。因此，我们将展成下面的Taylor级数： (1.2.5) 另一方面，由于，所以有 ， 令s=0，则得 ， (1.2.6) 比较(1.2.4)和(1.2.6)式知， (1.2.7) 推广到随机向量的高阶矩和高阶累积量的定义，令X为一随机向量。对其特征函数求次偏导，可得 显然，，若令，则上式给出结果 (1.2.8) 该式是随机向量[]的r阶矩的定义。 类似的，[]的r阶累积量可用其累计量生成函数定义为 (1.2.9) 可以证明，偏导数 存在且连续。因此，如果我们将展开成Taylor级数，则有 (1.2.10) 其中，。 另外，是连续的，且，因而该函数在零的某个邻域内不为零。在该邻域内，偏导数 存在且连续，其中表示对数的主值。因此，我们可用Taylor公式将展开成 (1.2.11) 为简化表达式(1.2.10)和(1.2.11)，我们引入符号：为一向量，其分量是非负整数，我们令 ，， 并令和。 这样，(1.2.10)和(1.2.11)可写成 (1.2.12) （1.2.13） 即随机变量的阶矩和累积量又可分别定义为矩生成函数和累积量生成函数的Taylor级数展开中项的系数。 特别的，取，可得到最常见的阶矩和阶累积量，并分别记为： (1.2.14) (1.2.15) 随机过程的高阶矩和高阶累积量： 定义1.2.1设为零均值的阶平稳随机过程，则该过程的阶矩定义为： (1.2.16) k阶累积量定义为